Um cilindro de plástico muito longo cujo raio é
possui carga distribuída na forma de uma densidade volumétrica de cargas dada por
. Onde
é uma constante positiva e
é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Determine o potencial elétrico dentro
e fora
do cilindro, usando a superfície do mesmo como referência
, para dentro e para fora dele.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está descrito a seguir:
- Densidade volumétrica de carga dentro do cilindro:
para , onde é constante e é a distância ao eixo. - O cilindro é “muito longo” (idealmente infinito), de raio
. - A superfície do cilindro (ou seja,
) é usada como referência: . - Perguntas que o enunciado faz:
- Determinar o potencial elétrico dentro do cilindro,
, para . - Determinar o potencial elétrico fora do cilindro,
, para .
- Determinar o potencial elétrico dentro do cilindro,
Dados relevantes a listar (retomando em forma clara):
-
para . - Referência:
. - Simetria: problema cilíndrico (infinito) — a solução depende só de
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: como o cilindro é muito longo e a densidade depende apenas de
, o campo elétrico tem simetria cilíndrica e aponta radialmente. Para obter o campo elétrico
usa-se a Lei de Gauss na forma integral:
Aqui escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento
. A área lateral dessa superfície é
. Como
é radial e constante sobre a lateral, a integral reduz-se a
. O lado das tampas não contribui porque
é paralelo às tampas (para um cilindro infinito o campo tem só componente radial).
Agora precisamos do total de carga encoberta pela superfície gaussiana (a carga dentro do raio
), que será usada no lado direito da Lei de Gauss.
Passo 3
Cálculo da carga interna (por unidade de comprimento ou total sobre comprimento
) para um raio genérico
.
A carga volumétrica é
. Num cilindro de comprimento
e elemento de volume em coordenadas cilíndricas
. A carga contida dentro do raio
e comprimento
é
Executando as integrais em
e
(que dão fatores
e
):
Calcule a integral:
Portanto
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss para
:
Isolando
:
Portanto, para
:
Observação didática rápida: aqui
cresce com
porque a carga interna cresce como
(volume com densidade aumentando com
), e o factor geométrico
da Lei de Gauss reduz a potência para
.
Passo 5
Agora calcular o campo para
(fora do cilindro). Primeiro encontra-se a carga por unidade de comprimento total do cilindro (integrando até
). Usando o resultado do passo 3 com
e dividindo por
se quiser a densidade linear, mas para Gauss é suficiente o
:
Aplicando a Lei de Gauss para
, a carga interna é aquela total
, então
Isolando
:
Portanto, para
:
Comentário: isto tem a mesma dependência em
típica de uma linha de carga efetiva, pois toda a carga está no cilindro.
Passo 6
Relação entre campo elétrico radial e potencial elétrico com simetria radial:
Aqui
é o potencial escalar (função só de
). Usaremos a condição de contorno
e integraremos
para obter
. Cuidado com os limites de integração: é conveniente escrever
Isso funciona tanto para
quanto para
(no caso
a integral terá sinal apropriado).
Passo 7
Calcular
para
(fora).
Substitua
na integral:
A integral logarítmica dá
, assim
Portanto, para
:
(Equivalente:
.)
Passo 8
Calcular
para
(dentro).
Use
e a mesma fórmula de integração:
Compute a integral explicitamente:
Assim
Reorganizando:
Portanto, para
:
Verificação de continuidade: avaliando em
ambas as expressões dão
, como exigido.
Passo 9
Resumo físico e verificação rápida:
- No interior o potencial é polinomial em
(cúbico em ) e atinge máximo no eixo ( ): . - No exterior o potencial decresce logaritmicamente com
, típico de uma distribuição de carga infinita com simetria cilíndrica. - O campo obtido por derivação de
retorna as fórmulas de dos passos anteriores (consistência).