Um cilindro de plástico muito longo cujo raio é R possui carga distribuída na forma de uma densidade volumétrica de cargas dada por \rho=\mathcal{A} r(r \leq R). Onde \mathcal{A} é uma constante positiva e r é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Determine o potencial elétrico dentro \left(V_{D}\right) e fora \left(V_{F}\right) do cilindro, usando a superfície do mesmo como referência V(R)=V_{0}, para dentro e para fora dele.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está descrito a seguir:
  • Densidade volumétrica de carga dentro do cilindro: \rho=\mathcal{A}\,r para r\leq R, onde \mathcal{A}>0 é constante e r é a distância ao eixo.
  • O cilindro é “muito longo” (idealmente infinito), de raio R.
  • A superfície do cilindro (ou seja, r=R) é usada como referência: V(R)=V_{0}.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Determinar o potencial elétrico dentro do cilindro, V_{D}(r), para r\le R.
    2. Determinar o potencial elétrico fora do cilindro, V_{F}(r), para r\ge R.
Dados relevantes a listar (retomando em forma clara):
  • \rho(r)=\mathcal{A}\,r para 0\le r\le R.
  • Referência: V(R)=V_{0}.
  • Simetria: problema cilíndrico (infinito) — a solução depende só de r.

Passo 2

Primeiro passo técnico: como o cilindro é muito longo e a densidade depende apenas de r, o campo elétrico tem simetria cilíndrica e aponta radialmente. Para obter o campo elétrico E_r(r) usa-se a Lei de Gauss na forma integral:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. A área lateral dessa superfície é A_{\text{lat}}=2\pi r L. Como \mathbf{E} é radial e constante sobre a lateral, a integral reduz-se a E_r(r)\,2\pi r L. O lado das tampas não contribui porque \mathbf{E} é paralelo às tampas (para um cilindro infinito o campo tem só componente radial).
Agora precisamos do total de carga encoberta pela superfície gaussiana (a carga dentro do raio r), que será usada no lado direito da Lei de Gauss.

Passo 3

Cálculo da carga interna (por unidade de comprimento ou total sobre comprimento L) para um raio genérico r\le R.
A carga volumétrica é \rho(r')=\mathcal{A}\,r'. Num cilindro de comprimento L e elemento de volume em coordenadas cilíndricas dV = r'\,dr'\,d\varphi\,dz. A carga contida dentro do raio r e comprimento L é
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{r} \rho(r')\, r'\,dr'\,d\varphi\,dz.
Executando as integrais em \varphi e z (que dão fatores 2\pi e L):
Q_{\text{int}}(r)=2\pi L \int_{0}^{r} \mathcal{A}\,r'\cdot r' \,dr' = 2\pi L \mathcal{A} \int_{0}^{r} r'^{2}\,dr'.
Calcule a integral:
\int_{0}^{r} r'^{2}\,dr'=\frac{r^{3}}{3}.
Portanto
Q_{\text{int}}(r)=2\pi L \mathcal{A}\,\frac{r^{3}}{3}=\frac{2\pi \mathcal{A} L}{3}\,r^{3}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss para r\le R:
E_r(r)\,2\pi r L=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{2\pi \mathcal{A} L}{3}\,r^{3}.
Isolando E_r(r):
E_r(r)=\frac{1}{2\pi r L}\cdot\frac{2\pi \mathcal{A} L}{3\varepsilon_0}\,r^{3}=\frac{\mathcal{A}}{3\varepsilon_0}\,r^{2}.
Portanto, para 0\le r\le R:
\boxed{E_r(r)=\dfrac{\mathcal{A}}{3\varepsilon_0}\,r^{2}\quad(\text{direção radial, para fora}).}çã
Observação didática rápida: aqui E_r cresce com r^{2} porque a carga interna cresce como r^{3} (volume com densidade aumentando com r), e o factor geométrico 1/r da Lei de Gauss reduz a potência para r^{2}.

Passo 5

Agora calcular o campo para r\ge R (fora do cilindro). Primeiro encontra-se a carga por unidade de comprimento total do cilindro (integrando até R). Usando o resultado do passo 3 com r=R e dividindo por L se quiser a densidade linear, mas para Gauss é suficiente o Q_{\text{int}}(R):
Q_{\text{int}}(R)=\frac{2\pi \mathcal{A} L}{3}\,R^{3}.
Aplicando a Lei de Gauss para r\ge R, a carga interna é aquela total Q_{\text{int}}(R), então
E_r(r)\,2\pi r L=\frac{Q_{\text{int}}(R)}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{2\pi \mathcal{A} L}{3}\,R^{3}.
Isolando E_r(r):
E_r(r)=\frac{1}{2\pi r L}\cdot\frac{2\pi \mathcal{A} L}{3\varepsilon_0}\,R^{3}=\frac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}.
Portanto, para r\ge R:
\boxed{E_r(r)=\dfrac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{r}\quad(\text{radial, para fora}).}
Comentário: isto tem a mesma dependência em 1/r típica de uma linha de carga efetiva, pois toda a carga está no cilindro.

Passo 6

Relação entre campo elétrico radial e potencial elétrico com simetria radial:
E_r(r)=-\frac{dV}{dr}.
Aqui V(r) é o potencial escalar (função só de r). Usaremos a condição de contorno V(R)=V_{0} e integraremos -E_r para obter V(r). Cuidado com os limites de integração: é conveniente escrever
V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r} E_r(r')\,dr'.
Isso funciona tanto para r>R quanto para r<R (no caso r<R a integral terá sinal apropriado).

Passo 7

Calcular V(r) para r\ge R (fora).
Substitua E_r(r')=\dfrac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\dfrac{1}{r'} na integral:
V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r} \frac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\,\frac{1}{r'}\,dr' = -\frac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\int_{R}^{r}\frac{1}{r'}\,dr'.
A integral logarítmica dá \ln(r'), assim
V(r)-V_{0}=-\frac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\left[\ln r'\right]_{R}^{r} =-\frac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{R}\right).
Portanto, para r\ge R:
\boxed{V_{F}(r)=V_{0}-\dfrac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\dfrac{r}{R}\right).}
(Equivalente: V_{F}(r)=V_{0}+\dfrac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{R}{r}\right).)

Passo 8

Calcular V(r) para r\le R (dentro).
Use E_r(r')=\dfrac{\mathcal{A}}{3\varepsilon_0}\,r'^{2} e a mesma fórmula de integração:
V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r} \frac{\mathcal{A}}{3\varepsilon_0}\,r'^{2}\,dr'.
Compute a integral explicitamente:
\int_{R}^{r} r'^{2}\,dr'=\left[\frac{r'^{3}}{3}\right]_{R}^{r}=\frac{r^{3}-R^{3}}{3}.
Assim
V(r)-V_{0}=-\frac{\mathcal{A}}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{r^{3}-R^{3}}{3}=-\frac{\mathcal{A}}{9\varepsilon_0}\left(r^{3}-R^{3}\right).
Reorganizando:
V(r)=V_{0}+\frac{\mathcal{A}}{9\varepsilon_0}\left(R^{3}-r^{3}\right).
Portanto, para r\le R:
\boxed{V_{D}(r)=V_{0}+\dfrac{\mathcal{A}}{9\varepsilon_0}\left(R^{3}-r^{3}\right).}
Verificação de continuidade: avaliando em r=R ambas as expressões dão V(R)=V_{0}, como exigido.

Passo 9

Resumo físico e verificação rápida:
  • No interior o potencial é polinomial em r (cúbico em r) e atinge máximo no eixo ( r=0): V(0)=V_{0}+\dfrac{\mathcal{A}R^{3}}{9\varepsilon_0}.
  • No exterior o potencial decresce logaritmicamente com r, típico de uma distribuição de carga infinita com simetria cilíndrica.
  • O campo obtido por derivação de V retorna as fórmulas de E_r dos passos anteriores (consistência).

Resposta

V_{D}(r)=V_{0}+\dfrac{\mathcal{A}}{9\varepsilon_0}\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr),\quad r\le R
V_{F}(r)=V_{0}-\dfrac{\mathcal{A}R^{3}}{3\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{R}\right),\quad r\ge R

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