O sonar é um aparelho que emite ondas sonoras em direçăo a um obstáculo e capta seus ecos permitindo, assim, determinar a que distância esse obstáculo se encontra. Medindo o tempo entre a emissāo e a recepçăo do som - seu eco - o sonar pode determinar a distāncia exata, por exemplo, entre uma embarcação e o fundo do mar.
Considere uma onda sonora com comprimento de onda de 3 m e velocidade de 1.500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} emitida verticalmente em direçāo ao fundo do mar e captada 0,85 depois de sua emissão. Calcule a profundidade local e a frequência da onda.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a profundidade local (distância do casco ao fundo do mar) e a frequência da onda sonora. As informações dadas são:
  • comprimento de onda: \lambda = 3\\ \mathrm{m};
  • velocidade do som na água: v = 1\,500\\ \mathrm{m/s};
  • tempo entre emissão e recepção do eco: t = 0,85\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo como o sonar mede a profundidade: o aparelho emite uma onda que viaja do emissor até o fundo e depois o eco vem de volta ao emissor. Portanto, durante o tempo t a onda percorre duas vezes a profundidade d (ida + volta). Logo a distância total percorrida é 2d. Esta é a relação geométrica básica do problema; não há perda nem outra trajetória.

Passo 3

Relacionando distância, velocidade e tempo: em qualquer movimento com velocidade constante, a distância percorrida é produto da velocidade pelo tempo. Aqui a distância total percorrida pela onda é 2d, então vale a igualdade
2d = v\,t.
Expliquei a fórmula: d é a profundidade que queremos, v é a velocidade do som na água e t é o tempo total entre emissão e recepção.

Passo 4

Isolando d na equação anterior temos
d = \frac{v\,t}{2}.
Agora substituímos os valores numéricos dados: v = 1\,500\\ \mathrm{m/s} e t = 0,85\\ \mathrm{s}. Calcule passo a passo:
v\,t = 1\,500 \times 0,85 = 1\,275\\ \mathrm{m}.
Dividindo por 2:
d = \frac{1\,275}{2} = 637,5\\ \mathrm{m}.
Portanto a profundidade local é \,637,5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora a frequência. Para uma onda (qualquer onda harmônica) existe a relação fundamental entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda:
v = f\,\lambda.
Aqui v é a velocidade de propagação da onda, \lambda é o comprimento de onda (distância entre cristas consecutivas) e f é a frequência (número de oscilações por segundo). Esta fórmula é básica: a cada oscilação a crista avança uma distância \lambda em tempo 1/f, logo velocidade = \lambda/(1/f)=f\lambda.

Passo 6

Isolando f obtemos
f = \frac{v}{\lambda}.
Substituindo v = 1\,500\\ \mathrm{m/s} e \lambda = 3\\ \mathrm{m}:
f = \frac{1\,500}{3} = 500\\ \mathrm{Hz}.
Expliquei o cálculo: dividimos a velocidade pela distância de uma onda para obter quantas ondas passam por segundo.

Passo 7

Verificação de unidades e sentido físico: a profundidade em metros faz sentido para sonar e o valor de 500\\ \mathrm{Hz} é uma frequência típica de equipamento sonar. As unidades conferem: na fórmula f=v/\lambda temos \mathrm{m/s} dividido por \mathrm{m} resultando em \mathrm{s^{-1}}=\mathrm{Hz}.

Resposta

Profundidade: 637,5\\ \mathrm{m}
Frequência: 500\\ \mathrm{Hz}

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