Um fio retilíneo muito longo possui densidade linear de carga \lambda=3 \mu \mathrm{C}. Utilizando uma superfície gaussiana cilíndrica, determine o campo elétrico a uma distância do fio de:
r=0,20 \mathrm{~m}. Explique por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
  • Densidade linear de carga: \lambda=3\\ \mu\mathrm{C/m}.
  • Distância onde se pede o campo: r=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Pedidos: (1) determinar o campo elétrico \mathbf{E} a r=0,20\\ \mathrm{m}; (2) explicar por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.
Informações úteis que temos que usar:
  • A quantidade \lambda tem unidades de carga por comprimento ( \mathrm{C/m}).
  • A constante do vácuo usada em leis eletrostáticas é \varepsilon_0 (tomaremos \varepsilon_0 \approx 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).

Passo 2

Lembrete da ferramenta principal: Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica total interna dividida por \varepsilon_0. Em fórmula:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor) em cada ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal; sua direção é a normal externa à superfície.
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada.
    Essa lei é exata e muito útil quando a simetria do problema permite simplificar a integral.

Passo 3

Por que escolher um cilindro como superfície gaussiana?
  • O fio é “muito longo” (idealmente infinito), e a distribuição de carga é uniforme ao longo do fio. Por simetria cilíndrica:
    • O campo \mathbf{E} só pode depender da distância radial r ao fio (não depende de posição ao longo do fio nem do ângulo azimutal).
    • O campo aponta radialmente (para fora se \lambda>0, para dentro se \lambda<0), ou seja, \mathbf{E}=E(r)\,\hat{r}.
  • Um cilindro coaxial com o fio tem:
    • A superfície lateral onde \mathbf{E} tem direção normal à superfície e módulo constante (boa para tirar \mathbf{E} fora da integral).
    • As tampas (faces planas nos extremos) têm normal paralelo ao eixo do fio; como \mathbf{E} é radial, \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nessas tampas (logo, elas não contribuem para o fluxo).
      Portanto, o cilindro torna a integral da lei de Gauss trivial e explora a simetria do problema.

Passo 4

Escolhendo um cilindro de raio genérico r e comprimento L (tomado arbitrariamente; o resultado não depende de L), calculamos o fluxo apenas pela superfície lateral porque as tampas não contribuem:
  • Área da superfície lateral do cilindro: A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • Em toda a superfície lateral o campo tem módulo E(r) constante e está alinhado com a normal, então o fluxo é
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot A_{\text{lat}}=E(r)\cdot 2\pi r L.

Passo 5

Carga total encerrada pelo cilindro: como a densidade linear é \lambda (carga por unidade de comprimento), a carga dentro do comprimento L é
Q_{\text{int}}=\lambda L.

Passo 6

Aplicando a lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L dos dois lados (por ser arbitrário) e isolando E(r) obtemos a expressão geral:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Explicando: E(r) diminui como 1/r, típica para uma linha infinita de carga; \varepsilon_0 garante as unidades corretas.

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro escrevendo \lambda em unidades SI:
\lambda=3\\ \mu\mathrm{C/m}=3\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
Tomando \varepsilon_0\approx 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e r=0,20\\ \mathrm{m}, temos
E(0,20)=\frac{3\times10^{-6}}{2\pi\cdot 8,854\times10^{-12}\cdot 0,20}.
Calculemos o denominador passo a passo:
2\pi\cdot 8,854\times10^{-12}\cdot 0,20 \approx 1,11265\times10^{-11}.
Agora a divisão:
E(0,20)\approx\frac{3\times10^{-6}}{1,11265\times10^{-11}}\approx 2,70\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
Direção: como \lambda>0, o campo aponta radialmente para fora do fio, ou seja, \mathbf{E}=E(0,20)\,\hat{r} com \hat{r} apontando para fora.

Passo 8

Resumo físico e verificação de unidades:
  • Dimensionalmente, \lambda/(\varepsilon_0 r) tem unidades de \mathrm{C/m} dividido por (\mathrm{F/m})\cdot\mathrm{m}=\mathrm{C/(V\cdot m)}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{V/m}, ou seja, unidade correta para campo elétrico.
  • Sinal/direção coerentes: carga positiva → campo apontando para fora.

Resposta

\mathbf{E}(0,20\\ \mathrm{m})\approx 2,70\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}\,\hat{r} (campo radialmente para fora, pois \lambda>0).
A superfície gaussiana escolhida é um cilindro coaxial porque a simetria cilíndrica do fio longo faz com que o campo seja radial e de módulo constante sobre a superfície lateral, e as tampas não contribuam para o fluxo, simplificando a aplicação da lei de Gauss.

Exercícios relacionados