Um fio retilíneo muito longo possui densidade linear de carga
. Utilizando uma superfície gaussiana cilíndrica, determine o campo elétrico a uma distância do fio de:
. Explique por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
- Densidade linear de carga:
. - Distância onde se pede o campo:
. - Pedidos: (1) determinar o campo elétrico
a ; (2) explicar por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.
Informações úteis que temos que usar:
- A quantidade
tem unidades de carga por comprimento ( ). - A constante do vácuo usada em leis eletrostáticas é
(tomaremos ).
Passo 2
Lembrete da ferramenta principal: Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica total interna dividida por
. Em fórmula:
Explicando cada símbolo:
-
é o campo elétrico (vetor) em cada ponto da superfície. -
é o vetor área infinitesimal; sua direção é a normal externa à superfície. -
é a carga total contida dentro da superfície fechada.
Essa lei é exata e muito útil quando a simetria do problema permite simplificar a integral.
Passo 3
Por que escolher um cilindro como superfície gaussiana?
- O fio é “muito longo” (idealmente infinito), e a distribuição de carga é uniforme ao longo do fio. Por simetria cilíndrica:
- O campo
só pode depender da distância radial ao fio (não depende de posição ao longo do fio nem do ângulo azimutal). - O campo aponta radialmente (para fora se
, para dentro se ), ou seja, .
- O campo
- Um cilindro coaxial com o fio tem:
- A superfície lateral onde
tem direção normal à superfície e módulo constante (boa para tirar fora da integral). - As tampas (faces planas nos extremos) têm normal paralelo ao eixo do fio; como
é radial, nessas tampas (logo, elas não contribuem para o fluxo).
Portanto, o cilindro torna a integral da lei de Gauss trivial e explora a simetria do problema.
- A superfície lateral onde
Passo 4
Escolhendo um cilindro de raio genérico
e comprimento
(tomado arbitrariamente; o resultado não depende de
), calculamos o fluxo apenas pela superfície lateral porque as tampas não contribuem:
- Área da superfície lateral do cilindro:
. - Em toda a superfície lateral o campo tem módulo
constante e está alinhado com a normal, então o fluxo é
Passo 5
Carga total encerrada pelo cilindro: como a densidade linear é
(carga por unidade de comprimento), a carga dentro do comprimento
é
Passo 6
Aplicando a lei de Gauss:
Cancelando
dos dois lados (por ser arbitrário) e isolando
obtemos a expressão geral:
Explicando:
diminui como
, típica para uma linha infinita de carga;
garante as unidades corretas.
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro escrevendo
em unidades SI:
Tomando
e
, temos
Calculemos o denominador passo a passo:
Agora a divisão:
Direção: como
, o campo aponta radialmente para fora do fio, ou seja,
com
apontando para fora.
Passo 8
Resumo físico e verificação de unidades:
- Dimensionalmente,
tem unidades de dividido por , ou seja, unidade correta para campo elétrico. - Sinal/direção coerentes: carga positiva → campo apontando para fora.
Resposta
A superfície gaussiana escolhida é um cilindro coaxial porque a simetria cilíndrica do fio longo faz com que o campo seja radial e de módulo constante sobre a superfície lateral, e as tampas não contribuam para o fluxo, simplificando a aplicação da lei de Gauss.