Um fio retilíneo muito longo possui densidade linear de carga
. Utilizando uma superfície gaussiana cilíndrica, determine o campo elétrico a uma distância do fio de:
. Explique por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.
Passo 1
O enunciado dá um fio retilíneo muito longo com densidade linear de carga
e pede duas coisas:
- Determinar o campo elétrico a uma distância
do fio. - Explicar por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Distância onde se quer o campo:
. - O fio é “muito longo” (modelo de fio infinito na prática).
Passo 2
Por que escolher uma superfície gaussiana cilíndrica? (aula rápida e intuitiva)
- Um fio retilíneo muito longo tem simetria cilíndrica: todos os pontos à mesma distância
do eixo do fio são equivalentes — não há direção preferencial ao redor do fio nem variação ao longo do comprimento do fio (considerando-o muito longo). - Por consequência, o campo elétrico em cada ponto a uma dada distância
deve ser: - radially directed (ou seja, perpendicular ao fio), e
- ter mesma magnitude para todos os pontos a essa distância
.
- Uma superfície cilíndrica concêntrica com o fio tem exatamente as mesmas propriedades de simetria: a superfície lateral do cilindro é perpendicular ao campo (campo é radial) e tem área cujo vetor normal está alinhado com o campo. As tampas (as bases) do cilindro têm normais paralelos ao eixo do fio, portanto ortogonais ao campo — isso facilita o cálculo do fluxo, porque o fluxo pelas bases é zero.
- Resumindo: a escolha do cilindro torna
constante na superfície lateral e anula o fluxo nas tampas, simplificando muito a aplicação da Lei de Gauss.
Passo 3
Enunciando a Lei de Gauss e o que cada símbolo significa (aula da fórmula)
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por
:
- Aqui:
-
é o fluxo elétrico total através da superfície. -
é o campo elétrico. -
é o vetor área de um elemento da superfície (magnitude igual à área do elemento, direção apontando para fora). -
é a carga total dentro da superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo, .
-
Passo 4
Calcular a carga encerrada pela superfície gaussiana cilíndrica
- Escolhemos um cilindro concêntrico com o fio, de raio
(o mesmo do ponto onde queremos o campo) e comprimento arbitrária . - A carga contida no interior desse cilindro é a densidade linear vezes o comprimento:
Passo 5
Calcular o fluxo pela superfície cilíndrica e aplicar a Lei de Gauss
- Pela simetria, o campo elétrico na superfície lateral tem magnitude constante
e é sempre radial, perpendicular à superfície lateral. Logo o produto escalar no lado lateral é . - O fluxo total passa apenas pela superfície lateral; o fluxo pelas tampas é zero porque o campo é paralelo às tampas (campo radial) e, portanto, ortogonal ao vetor área das tampas.
- A área da superfície lateral do cilindro é
. - Portanto o fluxo é:
- Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 6
Isolar
e interpretar a dependência com
- Cancelando
dos dois lados (por ser arbitrário) e isolando obtemos:
- Esta fórmula mostra que o campo decai como
, comportamento esperado para uma linha de carga infinita.
Passo 7
Substituir os valores e calcular numericamente (passo a passo aritmético)
- Converter
para unidades SI:
- Usar
e . - Substituindo em
temos
- Calcule o denominador em etapas:
-
. - Multiplicando por
: .
-
- Agora a divisão:
- Direção: como
, o campo é radial e aponta para fora do fio.
Passo 8
Recapitulando de maneira prática (como aplicar valor na prova)
- Sempre que tiver um fio muito longo com densidade linear
, lembre-se da fórmula rápida:
válida para
medido a partir do eixo do fio. Use uma superfície cilíndrica concêntrica porque a simetria torna
constante na lateral e zera o fluxo nas tampas — isso simplifica tudo e é a razão prática para escolher o cilindro na prova. Você só precisa escolher um comprimento
conveniente (ele cancela).
Resposta
A superfície gaussiana é um cilindro porque a simetria cilíndrica do fio infinito faz com que o campo dependa só de