Um fio retilíneo muito longo possui densidade linear de carga \lambda=3 \mu \mathrm{C}. Utilizando uma superfície gaussiana cilíndrica, determine o campo elétrico a uma distância do fio de:
r=0,05 \mathrm{~m}. Explique por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo muito longo com densidade linear de carga \lambda=3\\ \mu\mathrm{C/m} e pede duas coisas:
  • Determinar o campo elétrico a uma distância r=0,05\\ \mathrm{m} do fio.
  • Explicar por que a superfície gaussiana escolhida é um cilindro.
Informações relevantes fornecidas:
  • \lambda=3\\ \mu\mathrm{C/m}=3\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • Distância onde se quer o campo: r=0,05\\ \mathrm{m}.
  • O fio é “muito longo” (modelo de fio infinito na prática).

Passo 2

Por que escolher uma superfície gaussiana cilíndrica? (aula rápida e intuitiva)
  • Um fio retilíneo muito longo tem simetria cilíndrica: todos os pontos à mesma distância r do eixo do fio são equivalentes — não há direção preferencial ao redor do fio nem variação ao longo do comprimento do fio (considerando-o muito longo).
  • Por consequência, o campo elétrico em cada ponto a uma dada distância r deve ser:
    • radially directed (ou seja, perpendicular ao fio), e
    • ter mesma magnitude para todos os pontos a essa distância r.
  • Uma superfície cilíndrica concêntrica com o fio tem exatamente as mesmas propriedades de simetria: a superfície lateral do cilindro é perpendicular ao campo (campo é radial) e tem área cujo vetor normal está alinhado com o campo. As tampas (as bases) do cilindro têm normais paralelos ao eixo do fio, portanto ortogonais ao campo — isso facilita o cálculo do fluxo, porque o fluxo pelas bases é zero.
  • Resumindo: a escolha do cilindro torna E constante na superfície lateral e anula o fluxo nas tampas, simplificando muito a aplicação da Lei de Gauss.

Passo 3

Enunciando a Lei de Gauss e o que cada símbolo significa (aula da fórmula)
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Aqui:
    • \Phi é o fluxo elétrico total através da superfície.
    • \mathbf{E} é o campo elétrico.
    • d\mathbf{A} é o vetor área de um elemento da superfície (magnitude igual à área do elemento, direção apontando para fora).
    • Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície gaussiana.
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 4

Calcular a carga encerrada pela superfície gaussiana cilíndrica
  • Escolhemos um cilindro concêntrico com o fio, de raio r (o mesmo do ponto onde queremos o campo) e comprimento arbitrária L.
  • A carga contida no interior desse cilindro é a densidade linear vezes o comprimento:
Q_{\text{int}}=\lambda L.

Passo 5

Calcular o fluxo pela superfície cilíndrica e aplicar a Lei de Gauss
  • Pela simetria, o campo elétrico na superfície lateral tem magnitude constante E(r) e é sempre radial, perpendicular à superfície lateral. Logo o produto escalar no lado lateral é E(r)\,dA.
  • O fluxo total passa apenas pela superfície lateral; o fluxo pelas tampas é zero porque o campo é paralelo às tampas (campo radial) e, portanto, ortogonal ao vetor área das tampas.
  • A área da superfície lateral do cilindro é A_{\text{lateral}}=2\pi r L.
  • Portanto o fluxo é:
\Phi = E(r)\cdot 2\pi r L.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.

Passo 6

Isolar E(r) e interpretar a dependência com r
  • Cancelando L dos dois lados (por ser arbitrário) e isolando E(r) obtemos:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
  • Esta fórmula mostra que o campo decai como 1/r, comportamento esperado para uma linha de carga infinita.

Passo 7

Substituir os valores e calcular numericamente (passo a passo aritmético)
  • Converter \lambda para unidades SI:
\lambda = 3\\ \mu\mathrm{C/m} = 3\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • Usar \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e r=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo em
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}
temos
E(0,05\\ \mathrm{m})=\frac{3\times10^{-6}}{2\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}\cdot 0,05}.
  • Calcule o denominador em etapas:
    • 2\pi\cdot 0,05 \approx 0{,}3141592654.
    • Multiplicando por \varepsilon_0: 0{,}3141592654\times 8{,}854187817\times10^{-12}\approx 2{,}7814\times10^{-12}.
  • Agora a divisão:
E(0,05\\ \mathrm{m})\approx\frac{3\times10^{-6}}{2{,}7814\times10^{-12}}\approx 1{,}08\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
  • Direção: como \lambda>0, o campo é radial e aponta para fora do fio.

Passo 8

Recapitulando de maneira prática (como aplicar valor na prova)
  • Sempre que tiver um fio muito longo com densidade linear \lambda, lembre-se da fórmula rápida:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r},
válida para r medido a partir do eixo do fio. Use uma superfície cilíndrica concêntrica porque a simetria torna E constante na lateral e zera o fluxo nas tampas — isso simplifica tudo e é a razão prática para escolher o cilindro na prova. Você só precisa escolher um comprimento L conveniente (ele cancela).

Resposta

E(0,05\\ \mathrm{m})\approx 1{,}08\times10^{6}\\ \mathrm{V/m} (radialmente para fora).
A superfície gaussiana é um cilindro porque a simetria cilíndrica do fio infinito faz com que o campo dependa só de r, seja radial e tenha mesma magnitude em toda a superfície lateral, tornando o cálculo do fluxo simples.

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