Um cilindro sólido, não condutor e muito longo tem raio R e comprimento L, com R \ll L. A densidade de carga volumétrica no interior do cilindro varia com a distância ao eixo segundo \rho=\frac{b}{r}, sendo b uma constante positiva. (a) Determine o campo elétrico em um ponto fora do cilindro (r>R). (b) Determine o campo elétrico em um ponto dentro do cilindro (r<R). (c) Esboce uma figura do módulo do campo elétrico em função de $r.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro não condutor sólido, de raio R e comprimento L\gg R, cuja densidade volumétrica de carga é dada por
\rho(r)=\frac{b}{r},
onde b é constante e r é a distância ao eixo. Vamos usar a Lei de Gauss para campos com simetria cilíndrica, isto é,
\Phi_E=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.

Passo 2

Para um ponto dentro do cilindro r<R, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L. A carga interna é
Q_{\text{int}}(r)=\int_{V}\rho\,dV =\int_{0}^{r}\frac{b}{r'}\,(2\pi r'L\,dr') =2\pi b L\int_{0}^{r}dr' =2\pi b L\,r.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss na superfície de raio r:
E(r)\,(2\pi rL)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0} =\frac{2\pi b L\,r}{\varepsilon_0},
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E(r)=\frac{b}{\varepsilon_0}, \quad \text{para }r<R.

Passo 4

Para um ponto fora do cilindro r>R, a carga total contida no cilindro de raio R é
Q_{\text{tot}} = \int_{0}^{R}\frac{b}{r'}\,(2\pi r'L\,dr') =2\pi b L\,R.

Passo 5

Na superfície gaussiana de raio r>R vale
E(r)\,(2\pi rL) =\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0} =\frac{2\pi b L\,R}{\varepsilon_0},
de onde
E(r)=\frac{b\,R}{\varepsilon_0\,r}, \quad \text{para }r>R.

Passo 6

O módulo de E(r) em função de r é constante dentro do cilindro e decai como 1/r fora. O esboço é:
–––
| * ← E\propto1/r
| *
|–––––––––––––––––––––––– r=R
| *
| ======== E=b/\varepsilon_0
| ========
––– r

Resposta

(a) Para r>R:
E(r)=\frac{b\,R}{\varepsilon_0\,r}\quad(\text{radial e para fora}).
(b) Para r<R:
E(r)=\frac{b}{\varepsilon_0}\quad(\text{radial e para fora}).
(c) Gráfico: E(r) constante igual a b/\varepsilon_0 para 0\le r\le R, caindo depois como 1/r para r>R.

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