(a) Utilizando o teorema da divergência, \oint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{a}=\int_{V} \nabla \cdot \vec{F} d v, mostre que a lei de Gauss pode ser escrita na forma diferencial \nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}. (b) Determine a densidade da carga volumétrica \rho(r) associada ao campo elétrico \vec{E}=E_{0}\left(\frac{r}{a}\right)^{3} \hat{r}. Obs: Utilizar \nabla \cdot \vec{A}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} A_{r}\right); sendo \vec{A}=A_{r} \hat{r}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos partir da forma integral da lei de Gauss
\oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{a} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dv
e, usando o teorema da divergência
\oint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{a} = \int_{V}\nabla\cdot \vec{F}\,dv,
mostrar que ela pode ser escrita localmente como
\nabla\cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
Na parte (b) temos o campo
\vec{E} = E_{0}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^{3}\hat{r}
e precisamos achar a densidade volumétrica \rho(r). Para isso usaremos a fórmula em coordenadas esféricas, válida para campo radial \vec A = A_{r}(r)\,\hat r:
\nabla\cdot \vec A = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}A_{r}\bigr).

Passo 2

Aplicamos o teorema da divergência à lei de Gauss. Tomando \vec{F}=\vec{E}, temos
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{a} =\int_{V}\nabla\cdot \vec{E}\,dv.
Mas pela lei de Gauss integral também vale
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{a} =\frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dv.
Logo
\int_{V}\nabla\cdot \vec{E}\,dv =\frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dv.

Passo 3

Como as duas integrais valem para todo volume V arbitrário, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto. Portanto obtém-se a forma diferencial da lei de Gauss:
\nabla\cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}.

Passo 4

Agora parte (b): dado
\vec{E} = E_{0}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^{3}\hat{r},
vamos calcular \nabla\cdot \vec{E}. Aqui A_{r}(r)=E_{0}(r/a)^{3}. Pelo enunciado,
\nabla\cdot \vec{E} =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}E_{r}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl[r^{2}E_{0}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^{3}\Bigr].

Passo 5

Calculemos a derivada:
r^{2}E_{0}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^{3} =E_{0}\frac{r^{5}}{a^{3}},
então
\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(E_{0}\frac{r^{5}}{a^{3}}\Bigr) =E_{0}\frac{5r^{4}}{a^{3}}.
Dividindo por r^{2}
\nabla\cdot \vec{E} =\frac{1}{r^{2}}\;E_{0}\frac{5r^{4}}{a^{3}} =5E_{0}\frac{r^{2}}{a^{3}}.

Passo 6

Usando a forma diferencial \nabla\cdot \vec{E}=\rho/\epsilon_{0}, temos
\rho(r) =\epsilon_{0}\,\nabla\cdot \vec{E} =\epsilon_{0}\;5E_{0}\frac{r^{2}}{a^{3}} =5\epsilon_{0}E_{0}\,\frac{r^{2}}{a^{3}}.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla\cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
(b) \displaystyle \rho(r)=5\epsilon_{0}E_{0}\,\frac{r^{2}}{a^{3}}.

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