(a) Utilizando o teorema da divergência,
, mostre que a lei de Gauss pode ser escrita na forma diferencial
. (b) Determine a densidade da carga volumétrica
associada ao campo elétrico
. Obs: Utilizar
; sendo
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos partir da forma integral da lei de Gauss
e, usando o teorema da divergência
mostrar que ela pode ser escrita localmente como
Na parte (b) temos o campo
e precisamos achar a densidade volumétrica
. Para isso usaremos a fórmula em coordenadas esféricas, válida para campo radial
:
Passo 2
Aplicamos o teorema da divergência à lei de Gauss. Tomando
, temos
Mas pela lei de Gauss integral também vale
Logo
Passo 3
Como as duas integrais valem para todo volume
arbitrário, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto. Portanto obtém-se a forma diferencial da lei de Gauss:
Passo 4
Agora parte (b): dado
vamos calcular
. Aqui
. Pelo enunciado,
Passo 5
Calculemos a derivada:
então
Dividindo por
dá
Passo 6
Usando a forma diferencial
, temos
Resposta
(a)
(b)
(b)