Data: 28 / 11 / 2024
Rotações - Mecânica Básica 1
Um pêndulo formado por um fio de massa desprezível e comprimento 40 cm e uma esfera de massa M=2 kg e raio R=10 cm é preso ao teto de um laboratório. Calcule o momento de inércia I do sistema em relação o ponto o qual o pêndulo foi preso ao teto.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício sobre o momento de inércia em um pêndulo. O enunciado nos diz que temos um fio sem massa com comprimento de 40 cm e uma esfera de massa $ M = 2, kg $ e raio $ R = 10, cm $ presa ao teto. Precisamos calcular o momento de inércia $ I $ do sistema em relação ao ponto onde o pêndulo está fixado. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e o Teorema do Eixo Paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de quanta dificuldade há para um objeto começar a girar em torno de um eixo. Ele depende da massa do objeto e de como essa massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, o sistema é composto por um fio sem massa e uma esfera. Como o fio não tem massa, ele não contribui para o momento de inércia. Portanto, só precisamos considerar a esfera.

Passo 4

Para calcular o momento de inércia da esfera em relação ao ponto de fixação no teto, vamos usar o Teorema do Eixo Paralelo. Esse teorema nos permite calcular o momento de inércia de um objeto em torno de um eixo que está paralelo a um eixo que passa pelo centro de massa do objeto.
A fórmula do Teorema do Eixo Paralelo é:
I = Icm + M d^2
onde:
  • $ I $ é o momento de inércia em relação ao novo eixo (no nosso caso, o ponto de fixação),
  • $ I_{cm} $ é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa,
  • $ M $ é a massa da esfera,
  • $ d $ é a distância entre os dois eixos.

Passo 5

Primeiro, calculamos $ I_{cm} $, o momento de inércia da esfera em relação ao seu próprio centro. Para uma esfera sólida, a fórmula é:
Icm
Substituindo os valores dados:
  • $ M = 2, kg $
  • $ R = 0,10, m $ (convertendo 10 cm para metros)
Então:
Icm = 25 M R^2

Passo 6

Agora, calculamos $ d $, a distância entre o centro da esfera e o ponto de fixação. O fio tem 40 cm de comprimento, ou seja, 0,40 m. Portanto, $ d = 0,40, m $.

Passo 7

Aplicando o Teorema do Eixo Paralelo:
I = Icm + M d^2 = 0,008 + 2 times (0,40)^2 = 0,008 + 2 times 0,16 = 0,008 + 0,32 = 0,328, kgcdotm^2

Resposta

O momento de inércia $ I $ do sistema em relação ao ponto de fixação no teto é $ 0,328, kg\cdotm^2 $.

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