Um cilindro vertical de altura h=30 cm e área da base A=12 cm^2 e deixado com a extremidade superior aberta à pressão atmosférica de 1atm. Um pistão de 5 kg que se encaixa de forma justa no interior do cilindro, mas sem atrito, é colocado na sua extremidade superior. O pistão é então solto, permitindo que caia até uma altura de equilíbrio dentro do recipiente. Assuma que a temperatura final do gás não tenha sido alterada devido às trocas de calor com o ambiente. a) Qual será a pressão no interior do cilindro? b) Em que altura o pistão para de cair? (Lembre-se de que a força exercida pela pressão é obtida multiplicando-se a pressão pela área em questão).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e o que precisamos para resolvê-lo. Temos um cilindro vertical com altura de 30 cm e área da base de 12 cm². Ele está aberto na parte de cima, sujeito à pressão atmosférica de 1 atm. Colocamos um pistão de 5 kg no topo desse cilindro e deixamos ele cair até encontrar um equilíbrio. A temperatura do gás dentro do cilindro não muda durante esse processo, ou seja, é um processo isotérmico.
Para resolver as partes a) e b) do exercício, vamos precisar entender conceitos de pressão, força e equilíbrio de forças, além de como a pressão se comporta em processos isotérmicos (onde a temperatura permanece constante). Também vamos usar a relação entre pressão, força e área: $ P = \frac{F}{A} $.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): Qual será a pressão no interior do cilindro quando o pistão estiver em equilíbrio?
Primeiro, precisamos entender que, em equilíbrio, a força que a pressão interna exerce para cima deve equilibrar a força peso do pistão mais a força da pressão atmosférica que atua para baixo.
A força peso ($ F_p $) do pistão é dada por:
Fp
onde:
- $ m = 5 , kg $ (massa do pistão)
- $ g = 9,8 , m/s² $ (aceleração da gravidade)
Calculando:
Fp = m times g ²

Passo 3

Agora, a força total que precisa ser equilibrada pela pressão interna no cilindro é a soma da força peso do pistão e a força devido à pressão atmosférica atuando na área da base do cilindro.
A força devido à pressão atmosférica ($ F_{atm} $) é:
Fatm
onde:
- $ P_{atm} = 1 , atm $ (pressão atmosférica)
- $ A = 12 , cm² $ (área da base)
Primeiro, vamos converter 1 atm para unidades de Pascal (Pa), já que o Sistema Internacional usa Pascal para pressão:
Fatm = Patm times A
Convertendo a área de cm² para m²:
Patm = 1 , atm ²²²
Agora, calculando $ F_{atm} $:
A = 12 , cm² ²

Passo 4

A força total que a pressão interna precisa equilibrar é a soma dessas duas forças:
Ftotal = Fp + Fatm = 49 , N + 121,59 , N = 170,59 , N
Agora, para encontrar a pressão interna ($ P $) que gera essa força sobre a área do cilindro, usamos a relação:
P
Lembrando que:
  • $ F_{total} = 170,59 , N $
  • $ A = 0,0012 , m² $
Calculando:
P = FtotalA ²
Convertendo de volta para atm para facilitar a interpretação:
Ftotal = 170,59 , N

Passo 5

Pronto! Agora sabemos que a pressão no interior do cilindro, quando o pistão está em equilíbrio, é de aproximadamente 1,403 atm.

Passo 6

Vamos agora para a parte b): Em que altura o pistão para de cair?
Sabemos que durante o processo isotérmico (temperatura constante), a pressão e o volume do gás dentro do cilindro estão relacionados pela lei de Boyle:
P times V = constante
Inicialmente, quando o pistão está no topo, a pressão é $ P_{atm} = 1 , atm $ e o volume $ V_i = A \times h $.
No equilíbrio, a pressão é $ P = 1,403 , atm $ e o volume é $ V_f = A \times h’ $, onde $ h’ $ é a nova altura do gás no cilindro.
Aplicando a lei de Boyle:
Patm = 1 , atm
Vi = A times h
Podemos cancelar a área $ A $ dos dois lados:
P = 1,403 , atm
Resolvendo para $ h’ $:
Vf = A times h'
h'
Isso significa que a altura do gás diminui para aproximadamente 21,38 cm, ou seja, o pistão desce até essa altura.

Resposta

a) A pressão no interior do cilindro será de aproximadamente 1,403 atm.
b) O pistão para de cair a uma altura de cerca de 21,38 cm dentro do cilindro.

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