Para um cilindro
, seja seu tensor de inércia
(a) Calcule
e
.
(b) Calcule
. Qual a ordem deste tensor?
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular componentes do tensor de inércia
no cilindro definido por
e
. Precisamos usar coordenadas cilíndricas
com
,
,
, além da simetria do cilindro. Depois, calcular o tensor resultante da contração
e identificar sua ordem.
Passo 2
Cálculo de
. Pela definição,
Agora separamos em duas integrais:
Em coordenadas cilíndricas,
Fazendo
,
e
, obtemos
Analogamente,
Somando,
Passo 3
Cálculo de
. Pela definição,
já que
. Mas a região do cilindro é simétrica em
com a função
ímpar em
, logo
Passo 4
Agora calculamos o tensor contraído
Usando
e
, temos
Portanto
é o vetor nulo.
Passo 5
Identificação da ordem:
tem único índice livre
, logo é um tensor de ordem 1 (um vetor), e vale o vetor zero.
Resposta
O tensor