Para um cilindro -1 <= z <= 1, x^2+y^2 <= 1, seja seu tensor de inércia
Ii j=integral tripla(r^2 de<ai j-xi xj) d x d y d z, r^2=xi xi
(a) Calcule I22 e I13.
(b) Calcule (xk xk de<ai j-xi xj) xj. Qual a ordem deste tensor?

Passo 1

O enunciado pede para calcular componentes do tensor de inércia
Iij = integral triplacilindro l(r^2 de<aij - xi xjr),dx,dy,dz
no cilindro definido por -1<= z<=1 e x^2+y^2<=1. Precisamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com x=rcostheta, y=rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz, além da simetria do cilindro. Depois, calcular o tensor resultante da contração
l(xk xk de<aij-xi xjr)xj
e identificar sua ordem.

Passo 2

Cálculo de I22. Pela definição,
I22 = integral tripla l(r^2 de<a22 - y^2r),dV = integral tripla l(x^2 + y^2 + z^2 - y^2r),dV = integral tripla (x^2 + z^2),dV
Agora separamos em duas integrais:
integral tripla x^2,dV e integral tripla z^2,dV
Em coordenadas cilíndricas,
integral tripla x^2,dV = integralz=-1^1!integraltheta=0^2pi!integralr=0^1 (rcostheta)^2,r,dr,dtheta,dz
Fazendo integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^1r^3,dr=tfrac14 e integral-1^1dz=2, obtemos
integral tripla x^2,dV = 2cdotpicdottfrac14 = tfracpi2
Analogamente,
integral tripla z^2,dV = l(integral0^2pidthetaintegral0^1r,drr)l(integral-1^1z^2,dzr) = picdottfrac23 = tfrac2pi3
Somando,
I22 = tfracpi2 + tfrac2pi3 = tfrac3pi+4pi6 = tfrac7pi6

Passo 3

Cálculo de I13. Pela definição,
I13 = integral tripla l(r^2de<a13 - x1x3r),dV = -integral tripla x,z,dV
já que de<a13=0. Mas a região do cilindro é simétrica em zto -z com a função xz ímpar em z, logo
integral tripla x,z,dV = 0 Longrightarrow I13=0

Passo 4

Agora calculamos o tensor contraído
Ti = l(xk xk ,de<aij - xi xjr),xj
Usando de<aijxj = xi e xjxj = r^2, temos
Ti = (r^2,xi) - (xi,r^2) = 0
Portanto Ti é o vetor nulo.

Passo 5

Identificação da ordem: Ti tem único índice livre i, logo é um tensor de ordem 1 (um vetor), e vale o vetor zero.

Resposta

I22 = tfrac7pi6, I13=0
O tensor l(xk xkde<aij-xi xjr)xj é um vetor (ordem 1) e é nulo.

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