Questão 8 (2,0 pontos): Seja
a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar os pontos de
que são mais próximos da origem de
. O método consiste em montar um sistema de equações que, se resolvido, nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado.
Escreva aqui o sistema a ser resolvido. (não precisa resolver)
Passo 1
Então, a questão quer encontrar os pontos da superfície dada mais próximos da origem usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos precisar entender o que é a função que queremos minimizar (a distância até a origem) e qual é a restrição (a equação que define a superfície).
Passo 2
Definimos a função objetivo como a distância ao quadrado até a origem:
. A restrição é
.
Passo 3
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que nos extremos sujeitos à restrição temos
, onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 5
Passo 6
Por fim, juntamos
com a restrição
para montar o sistema.