Questão 8 (2,0 pontos): Seja S subset R^3 a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação
3 z^2+6 z x+3 x^2-z y+x y=4
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar os pontos de S que são mais próximos da origem de R^3. O método consiste em montar um sistema de equações que, se resolvido, nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado.
Escreva aqui o sistema a ser resolvido. (não precisa resolver)

Passo 1

Então, a questão quer encontrar os pontos da superfície dada mais próximos da origem usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos precisar entender o que é a função que queremos minimizar (a distância até a origem) e qual é a restrição (a equação que define a superfície).

Passo 2

Definimos a função objetivo como a distância ao quadrado até a origem: f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. A restrição é g(x,y,z)=3z^2+6zx+3x^2-zy+xy-4=0.

Passo 3

O método dos multiplicadores de Lagrange diz que nos extremos sujeitos à restrição temos nabla f = lambda,nabla g, onde lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de g.

Passo 5

partial gpartial x=6z+6x+y,partial gpartial y=x-z,partial gpartial z=6z+6x-y

Passo 6

Por fim, juntamos nabla f=lambda,nabla g com a restrição g(x,y,z)=0 para montar o sistema.

Resposta

2x = lambda,(6z+6x+y)
2y = lambda,(x-z)
2z = lambda,(6z+6x-y)
3z^2+6zx+3x^2-zy+xy-4=0

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