Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
com precisão de seis casas decimais usando série de potências. Vamos usar a expansão em série de Taylor para a função
e integrar termo a termo.
Passo 2
Lembrando que, para
,
Aqui o conteúdo teórico é a série de Taylor da função arco-tangente.
Passo 3
Fazendo
, obtemos
Passo 4
Integramos termo a termo de
até
:
Passo 5
Como a série resultante é alternada e monótona em magnitude, o erro ao truncar após
é menor que o próximo termo. Chamando
basta achar
tal que
. Calculando:
,
,
,
.
Logo podemos truncar em .
Logo podemos truncar em
Passo 6
O somatório parcial até
é
Como o próximo termo em magnitude é
, já garantimos seis casas decimais.