Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
integral0^1 / 2 tg^-1(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^1/2tg^-1l(x^2r),dx
com precisão de seis casas decimais usando série de potências. Vamos usar a expansão em série de Taylor para a função tg^-1(t) e integrar termo a termo.

Passo 2

Lembrando que, para |t|<=1,
tg^-1(t)=sumn=0^infty(-1)^n,t^2n+12n+1
Aqui o conteúdo teórico é a série de Taylor da função arco-tangente.

Passo 3

Fazendo t=x^2, obtemos
tg^-1l(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1

Passo 4

Integramos termo a termo de x=0 até x=tfrac12:
integral0^1/2tg^-1l(x^2r),dx =sumn=0^infty(-1)^n,12n+1 integral0^1/2x^4n+2,dx =sumn=0^infty(-1)^n,1(2n+1)(4n+3)l(tfrac12r)^4n+3

Passo 5

Como a série resultante é alternada e monótona em magnitude, o erro ao truncar após n=N é menor que o próximo termo. Chamando
an=1(2n+1)(4n+3)l(tfrac12r)^4n+3,
basta achar N tal que aN+1<10^-6. Calculando:
a0approx4,1667times10^-2,
a1approx3,7202times10^-4,
a2approx8,8769times10^-6,
a3approx2,9050times10^-7<10^-6.
Logo podemos truncar em N=2.

Passo 6

O somatório parcial até n=2 é
S2 =sumn=0^2(-1)^n1(2n+1)(4n+3)l(tfrac12r)^4n+3 =124-12688+1112640 approx0,0413035204
Como o próximo termo em magnitude é approx2,9times10^-7, já garantimos seis casas decimais.

Resposta

integral0^1/2tg^-1l(x^2r),dx approx0,041304

Exercícios relacionados