As coordenadas parabólicas
são definidas por
onde
.
(a) Calcule a base covariante
. A base é ortogonal?
(b) Calcule
em coordenadas parabólicas para
.
(a) Calcule a base covariante
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado define as coordenadas parabólicas
com
,
,
.
(a) Pede-se a base covariante e verificar se essa base é ortogonal.
(b) Pede-se o divergente de nessas coordenadas.
Para isso vamos usar cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas ortogonais.
(a) Pede-se a base covariante
(b) Pede-se o divergente de
Para isso vamos usar cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas ortogonais.
Passo 2
Escrevendo
e derivando:
Passo 3
Calculamos os produtos escalares:
Logo a base
é ortogonal.
Passo 4
Os fatores de escala são as normas:
Passo 5
Em coordenadas ortogonais
vale
Aqui
. Apenas o primeiro termo entra.
Passo 6
Calculamos
Como
, obtemos
Resposta
(a)
.
Sim, a base é ortogonal.
Sim, a base é ortogonal.
(b)