As coordenadas parabólicas (q1, q2, q3)=(u, v, theta) são definidas por
x=u v cos theta, y=u v sin theta, z=12(u^2-v^2)
onde u in[0, infty), v in[0, infty), theta in[0,2 pi).
(a) Calcule a base covariante varepsiloni=partial rpartial qi. A base é ortogonal?
(b) Calcule nabla cdot F em coordenadas parabólicas para F=cos theta eu.

Passo 1

O enunciado define as coordenadas parabólicas
x = u v costheta, y = u v sintheta, z = tfrac12l(u^2 - v^2r)
com u>=0, v>=0, thetain[0,2pi).
(a) Pede-se a base covariante varepsiloni=partialrpartial qi e verificar se essa base é ortogonal.
(b) Pede-se o divergente de F=costheta, eu nessas coordenadas.
Para isso vamos usar cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas ortogonais.

Passo 2

Escrevendo r(u,v,theta)=(x,y,z) e derivando:
varepsilonu=partial rpartial u =l(vcostheta,;vsintheta,;ur),
varepsilonv=partial rpartial v =l(ucostheta,;usintheta,;-vr),
varepsilontheta=partial rpartialtheta =l(-u vsintheta,;u vcostheta,;0r)

Passo 3

Calculamos os produtos escalares:
varepsilonucdotvarepsilonv =uv(cos^2theta+sin^2theta)-uv=0,
varepsilonucdotvarepsilontheta =vl(-u vcosthetasintheta+u vsinthetacosthetar)=0,
varepsilonvcdotvarepsilontheta =ul(-u vcosthetasintheta+u vsinthetacosthetar)=0
Logo a base varepsilonu,varepsilonv,varepsilontheta é ortogonal.

Passo 4

Os fatores de escala são as normas:
hu=|varepsilonu|=raizv^2+u^2, hv=|varepsilonv|=raizu^2+v^2, htheta=|varepsilontheta|=u v

Passo 5

Em coordenadas ortogonais (q1,q2,q3)=(u,v,theta) vale
nablacdotF =1hu hv hthetal[ partialpartial ul(hv htheta Fur) +partialpartial vl(htheta hu Fvr) +partialpartial thetal(hu hv Fthetar) r]
Aqui F=(Fu,Fv,Ftheta)=(costheta,0,0). Apenas o primeiro termo entra.

Passo 6

Calculamos
hv htheta,Fu =l(raizu^2+v^2r),(u v),costheta = u vraizu^2+v^2,costheta,
partialpartial ul(u vraizu^2+v^2costhetar) = vcostheta;(u^2+v^2)+u^2raizu^2+v^2 = vcostheta;2u^2+v^2raizu^2+v^2
Como hu hv htheta=(u^2+v^2),u v, obtemos
nablacdotF =vcostheta,(2u^2+v^2)/raizu^2+v^2 (u^2+v^2),u v =costheta,(2u^2+v^2)u,(u^2+v^2)^3/2

Resposta

(a)
varepsilonu=(vcostheta,vsintheta,u), varepsilonv=(ucostheta,usintheta,-v), varepsilontheta=(-u vsintheta,u vcostheta,0).
Sim, a base é ortogonal.
(b)
nablacdotF =costheta,(2u^2+v^2)u,(u^2+v^2)^3/2

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