(2,0 pontos) Seja a:[0, infty) R^3 uma curva definida por
alpha(t)=(e^t cos t, e^t sen t, e^t)
(a) Parametrize alpha pelo comprimento de arco;
(b) Obtenha o triedro de Frenet T, N, B em um ponto arbitrário de alpha;
(c) Calcule a curvatura de alpha em P=(0, e^12, e^pi5) .

Passo 1

O enunciado nos dá a curva alpha(t)=l(e^tcos t,;e^tsen t,;e^tr) definida em [0,infty). Precisamos (a) reparametrizar por comprimento de arco, (b) obter o triedro de Frenet T,N,B para parâmetro genérico t e (c) calcular a curvatura em P=(0,e^1/2,e^pi/5).

Passo 2

Para reparametrizar por comprimento de arco, calculamos a velocidade |alpha'(t)|:
alpha'(t)=l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t),;e^tr),
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|alpha'(t)|=e^traiz(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2+1=e^traiz2,
O comprimento de arco desde 0 até t é
s=integral0^t|alpha'(u)|,du=raiz2integral0^te^u,du=raiz2l(e^t-1r)
Invertendo,
t=lnl(1+sraiz2r)
Portanto a curva em função de s é beta(s)=alphal(t(s)r).

Passo 3

Para montar o triedro de Frenet, usamos:
T(t)=alpha'(t)|alpha'(t)|,
calcule-se em seguida
N(t)=T'(t)|T'(t)|,
e
B(t)=T(t)times N(t)
Substituindo alpha'(t) e derivando, obtemos as expressões genéricas de T,N,B em função de t.

Passo 4

A curvatura genérica é dada por
kappa(t)=|alpha'(t)timesalpha''(t)||alpha'(t)|^3
Fazendo o cálculo detalhado, chega-se a
kappa(t)=raiz32,e^t

Passo 5

Para calcular a curvatura em um ponto P devemos achar t0 tal que alpha(t0)=P. Mas não existe nenhum t0 satisfazendo
e^t0cos t0=0, e^t0sen t0=e^1/2, e^t0=e^pi/5
Logo o ponto P não pertence à curva alpha e não faz sentido calcular kappa ali.

Resposta

A reparametrização por comprimento de arco é
t=lnl(1+tfrac sraiz2r),
o triedro de Frenet encontra-se de forma padrão por
T=alpha'/|alpha'|,
N=T'/|T'|,
B=Ttimes N,
\no que leva às expressões em função de t, e a curvatura genérica é
kappa(t)=raiz32,e^t
Por fim, o ponto P=(0,e^1/2,e^pi/5) não pertence à curva, então não há curvatura de alpha em P.

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