(2,0 pontos) Seja
uma curva definida por
(a) Parametrize
pelo comprimento de arco;
(b) Obtenha o triedro de Frenet
em um ponto arbitrário de
;
(c) Calcule a curvatura de
em
.
(b) Obtenha o triedro de Frenet
(c) Calcule a curvatura de
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida em
. Precisamos (a) reparametrizar por comprimento de arco, (b) obter o triedro de Frenet
para parâmetro genérico
e (c) calcular a curvatura em
.
Passo 2
Para reparametrizar por comprimento de arco, calculamos a velocidade
:
logo
O comprimento de arco desde
até
é
Invertendo,
Portanto a curva em função de
é
.
Passo 3
Para montar o triedro de Frenet, usamos:
calcule-se em seguida
e
Substituindo
e derivando, obtemos as expressões genéricas de
em função de
.
Passo 4
A curvatura genérica é dada por
Fazendo o cálculo detalhado, chega-se a
Passo 5
Para calcular a curvatura em um ponto
devemos achar
tal que
. Mas não existe nenhum
satisfazendo
Logo o ponto
não pertence à curva
e não faz sentido calcular
ali.
Resposta
A reparametrização por comprimento de arco é
o triedro de Frenet encontra-se de forma padrão por
,
,
,
\no que leva às expressões em função de , e a curvatura genérica é
\no que leva às expressões em função de
Por fim, o ponto
não pertence à curva, então não há curvatura de
em
.