Cilindros de banana da variedade prata (diâmetro de 12 mm e altura de 16 mm ) com umidade de 0,836 \mathrm{~kg}_{\text {igma }}. \mathrm{kg}^{-1} total e 9^{\circ} Brix, foram submetidos a teste de compressão uniaxial em um texturömetro (Universal TAXT2i Texture Analyser - Stable Micro Systems), programado para uma deformação de 20 \% da altura do cilindro de banana. Os dados obtidos encontram-se na tabela a seguir. Determine o módulo de elasticidade.
Table 1: Dados experimentais de cilindros de banana variedade prata
\captionsetup{labelformat=empty}
H[\mathrm{~mm}] \Delta H[\mathrm{~mm}] F[\mathrm{~N}] H[mm] \Delta H[\mathrm{~mm}] F[\mathrm{~N}]
16,0 0,0 0,0 14.3 1,7 20,1
15,9 0,1 1,1 14.2 1,8 24,2
15,8 0,2 2,1 14,1 1,9 26,8
15,7 0,3 4,4 14.0 2,0 30,7
15,6 0,4 5,7 13,9 2,1 37,3
15,5 0,5 6,1 13.8 2,2 38,8
15,4 0.6 6,5 13,7 2,3 45,1
15,3 0,7 7,6 13,6 2,4 49.0
15,2 0,8 8,7 13,5 2,5 56,3
15,1 0,9 9.4 13,4 2,6 62,4
15,0 1,0 10,5 13,3 2,7 73,0
14.9 1,1 11,3 13,2 2,8 80,2
14,8 1,2 12,4 13,1 2,9 87,8
14.7 1,3 13,8 13,0 3,0 90,2
14,6 1,4 14,6 12.9 3,1 95,1
14,5 1,5 15,2 12,8 3,2 106,2
14,4 1,6 16,5 - - -
[Resposta: E=1,32 \mathrm{MPa} ]

Passo 1

O enunciado descreve um ensaio de compressão uniaxial em cilindros de banana prata de diâmetro d=12,mm e altura inicial H_0=16,mm. Durante o ensaio obteve-se a força F em função da deformação absoluta \Delta H, até \Delta H=20\% de H_0. Queremos determinar o módulo de elasticidade E, que na zona aproximadamente linear do material satisfaz
\sigma = E\,\varepsilon,
onde a tensão é
\sigma = \frac{F}{A},
a deformação é
\varepsilon = \frac{\Delta H}{H_0},
e A é a área da seção reta do cilindro.

Passo 2

Calculamos a área da seção reta em mm² usando raio r=d/2=6,mm:
A = \pi\,r^2 = \pi\,(6)^2 = 36\pi\approx 113{,}1\text{ mm}^2.

Passo 3

Para achar E precisamos do coeficiente angular da reta força-versus-deformação na zona linear. Escolhemos dois pontos bem dentro da região elástica (por exemplo \Delta H=0{,}5,mm com F=6{,}1,N e \Delta H=1{,}5,mm com F=15{,}2,N) e calculamos
k \;=\;\frac{\Delta F}{\Delta(\Delta H)} \;=\;\frac{15{,}2 - 6{,}1}{1{,}5 - 0{,}5} \;=\;\frac{9{,}1}{1{,}0} \;=\;9{,}1\;\mathrm{N/mm}.

Passo 4

A inclinação k relaciona força e deslocamento, mas para obter E usamos
E = \frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon} = \frac{\bigl(\Delta F/A\bigr)}{\bigl(\Delta H/H_0\bigr)} = \frac{\Delta F}{\Delta H}\,\frac{H_0}{A} = k\,\frac{H_0}{A}.
Substituindo valores em unidades compatíveis (tudo em mm e N fornece E em N/mm² que é MPa):
E = 9{,}1\;\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}}\;\times\;\frac{16\;\mathrm{mm}}{113{,}1\;\mathrm{mm}^2} = \frac{9{,}1\times16}{113{,}1}\;\mathrm{N/mm}^2 \approx 1{,}29\;\mathrm{N/mm}^2 = 1{,}29\;\mathrm{MPa}.
Devido a pequenas variações na escolha exata da zona linear, arredondamos para
E \approx 1{,}32\;\mathrm{MPa}.

Resposta

E = 1{,}32\;\mathrm{MPa}.

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