Para cilindros condutores concêntricos, \mathrm{V}=75 \mathrm{~V} com r=1 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{V}=0 para r=20 \mathrm{~mm}. Calcule a densidade superficial de cargas nos condutores cilíndricos, para \epsilon_{\mathrm{r}}=3,6 entre os cilindros. R : (798 / r) \hat{\mathbf{r}}\left(\mathrm{pC} / \mathrm{m}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado trata de dois cilindros condutores concêntricos, com raio interno a=1\text{ mm} mantido a V=75\text{ V} e raio externo b=20\text{ mm} a V=0. Entre eles há um dielétrico com \epsilon_r=3,6. Queremos a densidade superficial de carga em cada condutor. Para isso vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico E(r), depois a relação entre diferença de potencial e E, e por fim \sigma=\epsilon\,E.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, num cilindro gaussiano de raio r e comprimento L, a Lei de Gauss dá
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{livre\_int}},
onde \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E} e Q_{\text{livre\_int}}=\lambda L. Como \mathbf{E} é radial e constante em cada r,
D(r)\,2\pi r L = \lambda L \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon\,r}.

Passo 3

A diferença de potencial entre os cilindros é
V = \int_a^b \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \frac{\lambda}{2\pi\epsilon\,r}\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon}\ln\!\frac{b}{a}.
Isolando \lambda,
\lambda = \frac{2\pi\epsilon\,V}{\ln(b/a)}.

Passo 4

Substituindo \lambda em E(r), obtemos
E(r) = \frac{1}{2\pi\epsilon\,r}\,\frac{2\pi\epsilon\,V}{\ln(b/a)} = \frac{V}{r\,\ln(b/a)}.

Passo 5

A densidade superficial de carga no condutor em raio r é
\sigma(r)=\epsilon\,E(r) = \frac{\epsilon\,V}{r\,\ln(b/a)}.
Numericamente, com \epsilon=\epsilon_0\epsilon_r, \epsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, V=75\,\mathrm{V} e \ln(b/a)=\ln(20)\approx2{,}9957, resulta
\sigma(r)\approx\frac{7{,}98\times10^{-10}}{r}\,\mathrm{C/m^2} =\frac{798}{r}\,\mathrm{pC/m^2}.

Resposta

\sigma(r)=\frac{798}{r}\,\hat{\mathbf{r}}\;\mathrm{pC/m^2}.

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