Questão 5 valor: 1,5 ponto Para cada um dos seguintes conjuntos dados responda se o conjunto é l.i ou l.d em \mathbb{R}^{3}. Justifique a sua resposta.
\{(2,1,3),(1,2,1),(1,1,4),(4,4,8)\}

Passo 1

Temos o conjunto
\{(2,1,3),\,(1,2,1),\,(1,1,4),\,(4,4,8)\}
em \mathbb{R}^3 e precisamos decidir se ele é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.). O conteúdo envolvido é a definição de independência linear e o fato de que a dimensão de \mathbb{R}^3 é 3.

Passo 2

Em \mathbb{R}^n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente, pois a dimensão máxima do espaço gerado é n. Aqui temos 4 vetores em \mathbb{R}^3, logo 4>3 implica que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Para ilustrar, note que
(4,4,8) \;=\;(2,1,3)+(1,2,1)+(1,1,4).
Logo existe relação não-trivial
(2,1,3)+(1,2,1)+(1,1,4)-1\cdot(4,4,8)= (0,0,0),
confirmando a dependência linear.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em \mathbb{R}^3.

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