Questão 5 valor: 1,5 ponto Para cada um dos seguintes conjuntos dados responda se o conjunto é l.i ou l.d em \mathbb{R}^{3}. Justifique a sua resposta.
\{(1,2,3),(2,1,3),(0,0,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto de vetores \{(1,2,3),(2,1,3),(0,0,0)\} em \mathbb{R}^3 é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.). Vamos usar a definição de combinação linear para avaliar a dependência.

Passo 2

Uma coleção de vetores é linearmente dependente sempre que existe uma combinação linear não trivial que resulte no vetor zero. Note que nosso conjunto já contém o vetor (0,0,0). Basta escolher escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
\alpha\,(1,2,3)+\beta\,(2,1,3)+\gamma\,(0,0,0)=(0,0,0).
Se tomarmos \alpha=0, \beta=0 e \gamma=1, obtemos
0\cdot(1,2,3)+0\cdot(2,1,3)+1\cdot(0,0,0)=(0,0,0),
e o escalar \gamma=1 é diferente de zero. Portanto, já existe uma combinação não trivial que anula os vetores.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em \mathbb{R}^3.

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