Com a referência zero no infinito e \mathrm{V}=45,0 \mathrm{~V} em r=0,22 \mathrm{~m}, em coordenadas esféricas, um dielétrico de \epsilon_{\mathrm{r}}=1,72 ocupa a região 0,22<r <1,00 \mathrm{~m} e o espaço livre ocupa r>1,00 \mathrm{~m}. Determine \mathbf{E} em r=1,00 \pm 0 \mathrm{~m}. R: 8,55 \mathrm{~V} / \mathrm{m} ; 14,7 \mathrm{~V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora interna de raio a=0,22\\ \mathrm{m} mantida a potencial V(a)=45,0\\ \mathrm{V} (referência em r\to\infty), envolvida por um dielétrico de \epsilon_r=1,72 na região 0,22<r<1,00\\ \mathrm{m} e, para r>1,00\\ \mathrm{m}, espaço livre ( \epsilon_r=1). Pede-se o campo elétrico \mathbf{E} imediatamente dentro ( r=1,00^-) e imediatamente fora ( r=1,00^+) da interface. Vamos usar a Lei de Gauss para obter E(r) em cada região e a relação entre campo e potencial para achar a carga Q.

Passo 2

Pela simetria esférica, para r em qualquer região isotrópica vale
E(r)=\frac{Q}{4\pi\,\epsilon_0\,\epsilon_r\;r^2}\,,
onde \epsilon_r=1{,}72 no dielétrico ( 0,22<r<1,00) e \epsilon_r=1 no espaço livre ( r>1,00).

Passo 3

O potencial em r=a (com V(\infty)=0) é
V(a)=\int_{\infty}^{a}E(r)\,\mathrm{d}r =\int_{\infty}^{1{,}00}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,r^2}\,\mathrm{d}r +\int_{1{,}00}^{0{,}22}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,1{,}72\,r^2}\,\mathrm{d}r.
Fazendo as integrais:
\int_{\infty}^{1}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=1 \quad,\quad \int_{1}^{0{,}22}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\Bigl[\,-\tfrac1r\Bigr]_{1}^{0{,}22} =\frac1{0{,}22}-1.
Logo
V(a) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\Bigl[\,1\;+\;\frac{1}{1{,}72}\bigl(\tfrac1{0{,}22}-1\bigr)\Bigr].

Passo 4

Numéricamente,
\tfrac1{0{,}22}-1=4{,}5455-1=3{,}5455 \quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{3{,}5455}{1{,}72}=3{,}0614.
Como V(a)=45{,}0\\ \mathrm{V}, tem-se
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\;3{,}0614 =45{,}0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}= \frac{45{,}0}{3{,}0614}\approx14{,}70\\ \mathrm{V\cdot m}.

Passo 5

O campo imediatamente fora da interface ( r=1,00^+) é
E(1^+)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,(1{,}00)^2} =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\approx14{,}7\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Imediatamente dentro ( r=1,00^-), no dielétrico, vale
E(1^-)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,1{,}72\,(1{,}00)^2} =\frac{1}{1{,}72}\,\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\approx\frac{14{,}7}{1{,}72}\approx8{,}55\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.

Resposta

E(1{,}00^-)=8,55\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}
E(1{,}00^+)=14,7\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}

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