Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados e observados os números das faces de cima.
Qual a probabilidade de a soma dos números ser 12?

Passo 1

O enunciado dá: dois dados são lançados, um verde e um vermelho, e observa-se o número da face superior de cada um. A pergunta é: qual a probabilidade de a soma desses dois números ser 12?
Informações relevantes que vamos usar:
  • Cada dado mostra um número em \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os dois dados são distinguíveis (verde e vermelho).
  • Pressupõe-se dados justos e lançamentos independentes (cada face tem probabilidade igual de ocorrer e o resultado de um não afeta o outro).

Passo 2

Vamos construir o espaço amostral (todos os resultados possíveis). Como os dados são distinguíveis, cada resultado pode ser escrito como o par ordenado (g,r), onde g é o número no dado verde e r é o número no dado vermelho. Cada um dos dois valores pode ser qualquer elemento de \{1,2,3,4,5,6\}. Portanto o número total de resultados possíveis é
6\times6=36.
Explicação: o primeiro dado tem 6 opções e, para cada uma delas, o segundo também tem 6 opções — regra do produto.

Passo 3

Agora contamos os resultados favoráveis: são os pares (g,r) tais que g+r=12. Vamos listar possibilidades:
  • Se g=6 então precisamos de r=6 para que 6+r=12.
  • Para g<6 não há r\in\{1,\dots,6\} que faça g+r=12.
Logo o único par que dá soma 12 é (6,6). Portanto o número de resultados favoráveis é 1.

Passo 4

Usando contagem com resultados igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
P(\text{soma}=12)=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados}}=\frac{1}{36}.ºáº

Passo 5

Método alternativo (regra do produto para eventos independentes), apenas para reforçar a ideia: a soma é 12 só se o dado verde mostrar 6 e o dado vermelho mostrar 6. Como os lançamentos são independentes,
P(\text{verde}=6\\ \text{e}\\ \text{vermelho}=6)=P(\text{verde}=6)\cdot P(\text{vermelho}=6)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}.
As duas abordagens concordam.

Passo 6

Valor numérico aproximado (para intuir a magnitude):
\frac{1}{36}\approx 0,02778\\ (\text{aprox. }2,78\%).
Força aí — é um evento raro, mas agora sabes exatamente por quê: só acontece quando os dois saem 6.

Resposta

\dfrac{1}{36}

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