Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100 .
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é maior que 50 ?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é maior que 50 ?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?
Passo 1
O enunciado é curto e pede três probabilidades sobre um número sorteado ao acaso entre os inteiros de 1 a 100. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- Universo (espaço amostral): todos os inteiros de
a . Logo o número total de resultados possíveis é . - Perguntas:
(a) Qual a probabilidade do número ser par?
(b) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é maior que?
(c) Qual a probabilidade do número ser divisível por, dado que é par?
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (igualdade de chances): quando todos os
inteiros têm a mesma chance de serem sorteados, a probabilidade de um evento é
Para probabilidades condicionais, usamos a definição:
Em contagem discreta com resultados equiprováveis, isso vira
ou seja, conta-se quantos elementos estão em ambas as condições e divide-se pelo número de elementos que satisfazem a condição dada.
Passo 3
Resolver (a). Precisamos contar quantos inteiros de
a
são pares.
- Os inteiros pares entre
e são . - Essa é uma progressão aritmética com primeiro termo
, último termo e razão . - O número de termos dessa progressão é
Portanto há
números pares entre
e
.
Aplicando a fórmula da probabilidade (casos favoráveis sobre total):
Passo 4
Interpretação e forma alternativa (útil na prova): metade dos primeiros
inteiros são pares, então
. Isso conclui a letra (a).
Passo 5
Preparando (b): usar probabilidade condicional. Queremos
.
Pela definição,
Pela definição,
Passo 6
Contagens para (b):
- Números maiores que
no conjunto a são . Isso dá . - Números pares maiores que
são . Contagem: progresso aritmética com primeiro termo , último , razão :
Logo
.
Aplicando a fórmula condicional:
Passo 7
Interpretação de (b): mesmo restringindo ao intervalo
–
(que tem
números), exatamente metade deles são pares, então a probabilidade condicional continua sendo
. Isso é uma observação útil na prova: quando a condição restringe a um conjunto com igual número de pares e ímpares, a probabilidade de ser par permanece
.
Passo 8
Preparando (c): queremos
.
Pela definição condicional:
Pela definição condicional:
Note a observação importante: um número que é ao mesmo tempo par e divisível por
é divisível por
. Então basta contar os múltiplos de
entre
e
.
Passo 9
Contagens para (c):
- Já sabemos
. - Múltiplos de
entre e : . Isso é uma progressão aritmética com primeiro termo , último termo , razão . Número de termos:
Portanto há
números que são simultaneamente pares e divisíveis por
.
Assim
Passo 10
Resumo final e checagem rápida: as respostas são racionais simples. Faz sentido intuitivo:
- (a) metade dos números
– são pares; - (b) entre
e também metade são pares; - (c) entre os
pares, apenas os múltiplos de (10 deles) são divisíveis por , logo .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)