Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100 .
(a) Qual a probabilidade de o número ser par?
(b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é maior que 50 ?
(c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?

Passo 1

O enunciado é curto e pede três probabilidades sobre um número sorteado ao acaso entre os inteiros de 1 a 100. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Universo (espaço amostral): todos os inteiros de 1 a 100. Logo o número total de resultados possíveis é 100.
  • Perguntas:
    (a) Qual a probabilidade do número ser par?
    (b) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é maior que 50?
    (c) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é par?

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (igualdade de chances): quando todos os 100 inteiros têm a mesma chance de serem sorteados, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número total de resultados}}.úáú
Para probabilidades condicionais, usamos a definição:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Em contagem discreta com resultados equiprováveis, isso vira
P(A\mid B)=\frac{\#(A\cap B)}{\#(B)},
ou seja, conta-se quantos elementos estão em ambas as condições e divide-se pelo número de elementos que satisfazem a condição dada.

Passo 3

Resolver (a). Precisamos contar quantos inteiros de 1 a 100 são pares.
  • Os inteiros pares entre 1 e 100 são 2,4,6,\dots,100.
  • Essa é uma progressão aritmética com primeiro termo 2, último termo 100 e razão 2.
  • O número de termos dessa progressão é
\frac{100-2}{2}+1=\frac{98}{2}+1=49+1=50.
Portanto há 50 números pares entre 1 e 100.
Aplicando a fórmula da probabilidade (casos favoráveis sobre total):
P(\text{par})=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação e forma alternativa (útil na prova): metade dos primeiros 100 inteiros são pares, então P(\text{par})=\dfrac{1}{2}=0,5. Isso conclui a letra (a).

Passo 5

Preparando (b): usar probabilidade condicional. Queremos P(\text{par}\mid \text{maior que }50).
Pela definição,
P(\text{par}\mid \text{maior que }50)=\frac{\#(\text{pares e }>\!50)}{\#(\text{números }>\!50)}.ú

Passo 6

Contagens para (b):
  • Números maiores que 50 no conjunto 1 a 100 são 51,52,\dots,100. Isso dá \#(\text{maior que }50)=100-50=50.
  • Números pares maiores que 50 são 52,54,\dots,100. Contagem: progresso aritmética com primeiro termo 52, último 100, razão 2:
\frac{100-52}{2}+1=\frac{48}{2}+1=24+1=25.
Logo \#(\text{pares e }>\!50)=25.
Aplicando a fórmula condicional:
P(\text{par}\mid \text{maior que }50)=\frac{25}{50}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Interpretação de (b): mesmo restringindo ao intervalo 51 100 (que tem 50 números), exatamente metade deles são pares, então a probabilidade condicional continua sendo \dfrac{1}{2}. Isso é uma observação útil na prova: quando a condição restringe a um conjunto com igual número de pares e ímpares, a probabilidade de ser par permanece 1/2.

Passo 8

Preparando (c): queremos P(\text{divisível por }5\mid \text{par})í.
Pela definição condicional:
P(\text{divisible por }5\mid \text{par})=\frac{\#(\text{divisível por }5\\ \text{e}\\ \text{par})}{\#(\text{par})}.í
Note a observação importante: um número que é ao mesmo tempo par e divisível por 5 é divisível por 10. Então basta contar os múltiplos de 10 entre 1 e 100.

Passo 9

Contagens para (c):
  • Já sabemos \#(\text{par})=50.
  • Múltiplos de 10 entre 1 e 100: 10,20,\dots,100. Isso é uma progressão aritmética com primeiro termo 10, último termo 100, razão 10. Número de termos:
\frac{100-10}{10}+1=\frac{90}{10}+1=9+1=10.
Portanto há 10 números que são simultaneamente pares e divisíveis por 5.
Assim
P(\text{divisível por }5\mid \text{par})=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}.í

Passo 10

Resumo final e checagem rápida: as respostas são racionais simples. Faz sentido intuitivo:
  • (a) metade dos números 1 100 são pares;
  • (b) entre 51 e 100 também metade são pares;
  • (c) entre os 50 pares, apenas os múltiplos de 10 (10 deles) são divisíveis por 5, logo 10/50=1/5.

Resposta

(a) \dfrac{1}{2}
(b) \dfrac{1}{2}
(c) \dfrac{1}{5}

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