Seja
uma variável aleatória discreta com
,
.
(a) Grafique a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada.
(b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana.
(c) Calcule a variância de
.
(d) Determine as seguintes probabilidades:
(a) Grafique a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada.
(b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana.
(c) Calcule a variância de
(d) Determine as seguintes probabilidades:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória discreta
com probabilidades nos pontos
. As informações fornecidas são:
O que o enunciado pede:
- (a) Grafique a função de probabilidade (PMF) e a função de distribuição acumulada (CDF).
- (b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana.
- (c) Calcule a variância de
. - (d) Determine as probabilidades
Passo 2
O que é e como representar graficamente a função de probabilidade (PMF) para uma variável discreta:
- A PMF dá a probabilidade de cada valor possível de
. Para variáveis discretas desenhamos pontos (ou barras finas) em cada valor de com altura igual a . - Aqui os pontos a plotar são:
- No papel: no eixo horizontal marque
. No eixo vertical marque probabilidades até . Desenhe um ponto cheio em cada e, se quiser, uma pequena barra vertical conectando o ponto ao eixo .
Passo 3
O que é e como construir a função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável discreta:
- A CDF
é uma função em degraus que, para cada , soma as probabilidades de todos os valores de menores ou iguais a . - Calculemos os valores de
nos pontos de interesse (a CDF é constante entre os pontos, e tem saltos nos pontos onde tem massa):
- Para desenhar: comece em
com . Em a função sobe para (coloque um ponto fechado em com altura e um ponto aberto imediatamente à esquerda com altura ). Em sobe para , em para , e em para . Entre esses pontos a função é constante.
Passo 4
Como calcular o valor esperado (ou esperança) e aplicação ao nosso problema:
- Definição: o valor esperado de uma variável discreta
é a soma ponderada dos valores possíveis por suas probabilidades: Aqui cada é um valor que pode assumir e é a probabilidade correspondente. - Aplicando a fórmula passo a passo:
Calcule cada termo: Some: - Em frações (útil para conferir):
, , . Então
Passo 5
Como encontrar a moda e a mediana e aplicação:
- Moda: é o valor de
que maximiza (o valor mais provável). - Compare as probabilidades:
. A maior é em . Logo a moda é .
- Compare as probabilidades:
- Mediana: é um valor
tal que e . Para variáveis discretas uma convenção prática é tomar a menor com . - Usando os valores da CDF calculados:
. O menor com é . - Observação: aqui
exatamente; portanto é uma mediana válida. (Algumas definições permitem qualquer entre e porque e o salto em leva a , mas adotamos a convenção da menor com .)
- Usando os valores da CDF calculados:
Passo 6
Como calcular a variância e aplicação:
- Definição:
. - Primeiro calculamos
.
- Primeiro calculamos
- Calcule
passo a passo: Calcule cada termo: Some: Em fração: . - Agora use
do Passo 4: Colocando em denominador comum : Em decimal:
Passo 7
Calculemos as probabilidades pedidas em (d), explicando a lógica para cada uma:
-
: aqui a desigualdade é estrita e procura valores de estritamente entre e . Como só toma valores inteiros , não existe no suporte com . Logo -
: soma das probabilidades em : -
: não pode ser maior que (maior valor do suporte é ), então -
: valores de maiores que são aqueles com (pois é inteiro). Portanto apenas contribui: -
: primeiro transforme a condição. Para cada valor de : -
(não satisfaz, pois ); -
(não satisfaz, pois ); -
(satisfaz, pois ); -
(satisfaz).
Logo os valores que satisfazem sãoe . Portanto
-
Resposta
(a) PMF: pontos
. CDF:
.
(b) . Moda
. Mediana
.
(c) .
(d) .
.
.
.
.
(b)
(c)
(d)