Seja X uma variável aleatória discreta com P(X=0)=0.25, P(X=1)=0.125, P(X=2)=0.125, P(X=3)=0.5.
(a) Grafique a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada.
(b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana.
(c) Calcule a variância de X.
(d) Determine as seguintes probabilidades:
P(0<X<1), \quad P(X \leq 2), \quad P(X>3), \quad P(X>2.5), \quad P(|X+1|>2.5)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com probabilidades nos pontos 0,1,2,3. As informações fornecidas são:
P(X=0)=0{,}25,\quad P(X=1)=0{,}125,\quad P(X=2)=0{,}125,\quad P(X=3)=0{,}5.
O que o enunciado pede:
  1. (a) Grafique a função de probabilidade (PMF) e a função de distribuição acumulada (CDF).
  2. (b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana.
  3. (c) Calcule a variância de X.
  4. (d) Determine as probabilidades
P(0<X<1),\quad P(X\le 2),\quad P(X>3),\quad P(X>2{,}5),\quad P(|X+1|>2{,}5).

Passo 2

O que é e como representar graficamente a função de probabilidade (PMF) para uma variável discreta:
  • A PMF dá a probabilidade de cada valor possível de X. Para variáveis discretas desenhamos pontos (ou barras finas) em cada valor de x com altura igual a P(X=x).
  • Aqui os pontos a plotar são: (0,\,P(X=0))=(0,\,0{,}25),\quad (1,\,0{,}125),\quad (2,\,0{,}125),\quad (3,\,0{,}5).
  • No papel: no eixo horizontal marque 0,1,2,3. No eixo vertical marque probabilidades até 0{,}5. Desenhe um ponto cheio em cada (x,P(X=x)) e, se quiser, uma pequena barra vertical conectando o ponto ao eixo x.

Passo 3

O que é e como construir a função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável discreta:
  • A CDF F(x)=P(X\le x) é uma função em degraus que, para cada x, soma as probabilidades de todos os valores de X menores ou iguais a x.
  • Calculemos os valores de F(x) nos pontos de interesse (a CDF é constante entre os pontos, e tem saltos nos pontos onde X tem massa): F(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=0{,}25,
F(1)=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}25+0{,}125=0{,}375,
F(2)=P(X\le 2)=0{,}375+0{,}125=0{,}5,
F(3)=P(X\le 3)=1.
  • Para desenhar: comece em x<0 com F(x)=0. Em x=0 a função sobe para 0{,}25 (coloque um ponto fechado em x=0 com altura 0{,}25 e um ponto aberto imediatamente à esquerda com altura 0). Em x=1 sobe para 0{,}375, em x=2 para 0{,}5, e em x=3 para 1. Entre esses pontos a função é constante.

Passo 4

Como calcular o valor esperado (ou esperança) e aplicação ao nosso problema:
  • Definição: o valor esperado de uma variável discreta X é a soma ponderada dos valores possíveis por suas probabilidades: \mathbb{E}[X]=\sum_{x} x\cdot P(X=x).Aqui cada x é um valor que X pode assumir e P(X=x) é a probabilidade correspondente.
  • Aplicando a fórmula passo a passo: \mathbb{E}[X]=0\cdot 0{,}25 + 1\cdot 0{,}125 + 2\cdot 0{,}125 + 3\cdot 0{,}5.Calcule cada termo: 0\cdot 0{,}25=0,\quad 1\cdot 0{,}125=0{,}125,\quad 2\cdot 0{,}125=0{,}25,\quad 3\cdot 0{,}5=1{,}5.Some: \mathbb{E}[X]=0+0{,}125+0{,}25+1{,}5=1{,}875.
  • Em frações (útil para conferir): 0{,}125=1/8, 0{,}25=1/4, 0{,}5=1/2. Então \mathbb{E}[X]=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{3}{2}=\frac{3}{8}+\frac{12}{8}=\frac{15}{8}=1{,}875.

Passo 5

Como encontrar a moda e a mediana e aplicação:
  • Moda: é o valor de x que maximiza P(X=x) (o valor mais provável).
    • Compare as probabilidades: 0{,}25,\,0{,}125,\,0{,}125,\,0{,}5. A maior é 0{,}5 em x=3. Logo a moda é 3.
  • Mediana: é um valor m tal que P(X\le m)\ge 0{,}5 e P(X\ge m)\ge 0{,}5. Para variáveis discretas uma convenção prática é tomar a menor m com F(m)\ge 0{,}5.
    • Usando os valores da CDF calculados: F(0)=0{,}25,\;F(1)=0{,}375,\;F(2)=0{,}5. O menor m com F(m)\ge 0{,}5 é m=2.
    • Observação: aqui F(2)=0{,}5 exatamente; portanto 2 é uma mediana válida. (Algumas definições permitem qualquer m entre 2 e 3 porque P(X=2)+P(X=3)=0{,}625 e o salto em 3 leva a 1, mas adotamos a convenção da menor m com F(m)\ge 0{,}5.)

Passo 6

Como calcular a variância e aplicação:
  • Definição: \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2.
    • Primeiro calculamos \mathbb{E}[X^2]=\sum_x x^2 P(X=x).
  • Calcule \mathbb{E}[X^2] passo a passo: \mathbb{E}[X^2]=0^2\cdot 0{,}25 + 1^2\cdot 0{,}125 + 2^2\cdot 0{,}125 + 3^2\cdot 0{,}5.Calcule cada termo: 0^2\cdot 0{,}25=0,\quad 1^2\cdot 0{,}125=0{,}125,\quad 4\cdot 0{,}125=0{,}5,\quad 9\cdot 0{,}5=4{,}5.Some: \mathbb{E}[X^2]=0+0{,}125+0{,}5+4{,}5=5{,}125.Em fração: 5{,}125=\frac{41}{8}.
  • Agora use \mathbb{E}[X]=\frac{15}{8} do Passo 4: \mathrm{Var}(X)=\frac{41}{8}-\left(\frac{15}{8}\right)^2=\frac{41}{8}-\frac{225}{64}.Colocando em denominador comum 64: \frac{41}{8}=\frac{328}{64},\quad \mathrm{Var}(X)=\frac{328-225}{64}=\frac{103}{64}.Em decimal: \mathrm{Var}(X)=1{,}609375.

Passo 7

Calculemos as probabilidades pedidas em (d), explicando a lógica para cada uma:
  1. P(0<X<1): aqui a desigualdade é estrita e procura valores de X estritamente entre 0 e 1. Como X só toma valores inteiros 0,1,2,3, não existe x no suporte com 0<x<1. Logo P(0<X<1)=0.
  2. P(X\le 2): soma das probabilidades em 0,1,2: P(X\le 2)=0{,}25+0{,}125+0{,}125=0{,}5.
  3. P(X>3): X não pode ser maior que 3 (maior valor do suporte é 3), então P(X>3)=0.
  4. P(X>2{,}5): valores de X maiores que 2{,}5 são aqueles com X\ge 3 (pois X é inteiro). Portanto apenas X=3 contribui: P(X>2{,}5)=P(X=3)=0{,}5.
  5. P(|X+1|>2{,}5): primeiro transforme a condição. Para cada valor de X:
    • X=0\Rightarrow |0+1|=1 (não satisfaz, pois 1\le 2{,}5);
    • X=1\Rightarrow |1+1|=2 (não satisfaz, pois 2\le 2{,}5);
    • X=2\Rightarrow |2+1|=3 (satisfaz, pois 3>2{,}5);
    • X=3\Rightarrow |3+1|=4 (satisfaz).
      Logo os valores que satisfazem são X=2 e X=3. Portanto
    P(|X+1|>2{,}5)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}125+0{,}5=0{,}625=\frac{5}{8}.

Resposta

(a) PMF: pontos (0,0{,}25),\;(1,0{,}125),\;(2,0{,}125),\;(3,0{,}5). CDF: F(0)=0{,}25,\;F(1)=0{,}375,\;F(2)=0{,}5,\;F(3)=1.
(b) \mathbb{E}[X]=\dfrac{15}{8}=1{,}875. Moda =3. Mediana =2.
(c) \mathrm{Var}(X)=\dfrac{103}{64}=1{,}609375.
(d) P(0<X<1)=0.
P(X\le 2)=0{,}5.
P(X>3)=0.
P(X>2{,}5)=0{,}5.
P(|X+1|>2{,}5)=0{,}625=\dfrac{5}{8}.

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