Cinco medidas do conteúdo de alcatrão em um cigarro X acusaram: 14,5, 14, 2, 14,4, 14,8, e 14,1 miligramas por cigarro. Este conjunto de cinco valores tem média 14,4 e desvio padrão 0,274 . O leitor pretende testar a hipótese nula H0: mu=14,1 (conforme declarado no maço) ao nível de 0,05 de significância.
a) H0 seria aceita, contra a alternativa HA: mu neq 14,1 ?
b) H0 seria aceita, contra a alternativa HA: mu<14,1 ?
c) H0 seria aceita, contra a alternativa HA: mu>14,1 ?
d) Que suposições são necessárias para fazer o teste de hipóteses?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos cinco medidas do conteúdo de alcatrão em um cigarro X: 14,5; 14,0; 14,4; 14,8; e 14,1 miligramas por cigarro. A média dessas medidas é 14,4 e o desvio padrão é 0,274. A gente vai testar se a média real ( mu) é igual a 14,1, como está no maço, usando um nível de significância de 0,05. Isso envolve testes de hipóteses na estatística, especificamente o teste t para uma amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipótese. Basicamente, estamos querendo saber se a média que a empresa declara (14,1 mg) é verdadeira ou se nossas medições sugerem que ela é diferente. A hipótese nula ( H0) é que mu = 14,1, e a hipótese alternativa ( HA) pode ser diferente, menor ou maior, dependendo da questão.

Passo 3

Para testar isso, vamos calcular o valor t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral (14,4)
  • mu0 é a média hipotética (14,1)
  • s é o desvio padrão amostral (0,274)
  • n é o tamanho da amostra (5)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
t = 14,4 - 14,10,274 / raiz5 = 0,30,274 / 2,236 approx 0,30,1223 approx 2,454

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico t para nosso nível de significância (0,05) e graus de liberdade (n-1 = 4). Consultando a tabela t, para α = 0,05 em um teste bilateral, o valor crítico é aproximadamente 2,776.

Passo 6

Comparando nosso valor calculado de t (2,454) com o valor crítico (2,776):
  • Se |t| > 2,776, rejeitamos H0.
  • Se |t| ≤ 2,776, não rejeitamos H0.
Como 2,454 < 2,776, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

a) Sim, H0 seria aceita, pois o valor t calculado (2,454) é menor que o valor crítico (2,776) no nível de 0,05.

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