Cinco medidas do conteúdo de alcatrão em um cigarro
acusaram: 14,5, 14, 2, 14,4, 14,8, e 14,1 miligramas por cigarro. Este conjunto de cinco valores tem média 14,4 e desvio padrão 0,274 . O leitor pretende testar a hipótese nula
(conforme declarado no maço) ao nível de 0,05 de significância.
a)
seria aceita, contra a alternativa
?
b)
seria aceita, contra a alternativa
?
c)
seria aceita, contra a alternativa
?
d) Que suposições são necessárias para fazer o teste de hipóteses?
a)
b)
c)
d) Que suposições são necessárias para fazer o teste de hipóteses?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos cinco medidas do conteúdo de alcatrão em um cigarro X: 14,5; 14,0; 14,4; 14,8; e 14,1 miligramas por cigarro. A média dessas medidas é 14,4 e o desvio padrão é 0,274. A gente vai testar se a média real (
) é igual a 14,1, como está no maço, usando um nível de significância de 0,05. Isso envolve testes de hipóteses na estatística, especificamente o teste t para uma amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipótese. Basicamente, estamos querendo saber se a média que a empresa declara (14,1 mg) é verdadeira ou se nossas medições sugerem que ela é diferente. A hipótese nula (
) é que
, e a hipótese alternativa (
) pode ser diferente, menor ou maior, dependendo da questão.
Passo 3
Para testar isso, vamos calcular o valor t usando a fórmula:
Onde:
-
é a média amostral (14,4) -
é a média hipotética (14,1) -
é o desvio padrão amostral (0,274) -
é o tamanho da amostra (5)
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico t para nosso nível de significância (0,05) e graus de liberdade (n-1 = 4). Consultando a tabela t, para α = 0,05 em um teste bilateral, o valor crítico é aproximadamente 2,776.
Passo 6
Comparando nosso valor calculado de t (2,454) com o valor crítico (2,776):
- Se |t| > 2,776, rejeitamos
. - Se |t| ≤ 2,776, não rejeitamos
.
Como 2,454 < 2,776, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
a) Sim,
seria aceita, pois o valor t calculado (2,454) é menor que o valor crítico (2,776) no nível de 0,05.