Um médico está estudando o crescimento de dois tipos de bactérias. Como pode haver um efeito significativo do substrato, os dois tipos de bactérias foram cultivados em cada uma das oito amostras de substrato. Use alpha=0,01 e teste a hipótese de que a bactéria 1 cresce mais que a bactéria 2.
Substrato 1 2 3 4 5 6 7 8
Bactéria 1 3,0 3,2 2,7 2,5 3,8 4,3 3,5 4,8
Bactéria 2 3,2 3,1 2,4 2,1 3,2 3,7 3,2 4,0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Um médico quer saber se a bactéria 1 cresce mais que a bactéria 2 quando cultivadas em diferentes substratos. A gente vai usar um teste de hipótese com nível de significância alpha = 0,01. Para isso, vamos comparar as médias de crescimento das duas bactérias usando um teste t pareado, já que estamos comparando os mesmos substratos para as duas bactérias.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
Substrato 1 2 3 4 5 6 7 8
Bactéria 1 3,0 3,2 2,7 2,5 3,8 4,3 3,5 4,8
Bactéria 2 3,2 3,1 2,4 2,1 3,2 3,7 3,2 4,0
Vamos calcular a diferença de crescimento entre a bactéria 1 e a 2 para cada substrato.

Passo 3

Calculando as diferenças ( Di = Bactéria 1 - Bactéria 2éé):
Substrato Di
1 3,0 - 3,2 = -0,2
2 3,2 - 3,1 = 0,1
3 2,7 - 2,4 = 0,3
4 2,5 - 2,1 = 0,4
5 3,8 - 3,2 = 0,6
6 4,3 - 3,7 = 0,6
7 3,5 - 3,2 = 0,3
8 4,8 - 4,0 = 0,8

Passo 4

Agora, vamos calcular a média ( barD) e o desvio padrão ( sD) das diferenças:
barD = -0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,6 + 0,6 + 0,3 + 0,88 = 3,78 = 0,4625
Para o desvio padrão, usamos a fórmula:
sD = raizsum (Di - barD)^2n - 1
Calculando cada termo:
(-0,2 - 0,4625)^2 &= (-0,6625)^2 = 0,4389 (0,1 - 0,4625)^2 &= (-0,3625)^2 = 0,1314 (0,3 - 0,4625)^2 &= (-0,1625)^2 = 0,0264 (0,4 - 0,4625)^2 &= (-0,0625)^2 = 0,0039 (0,6 - 0,4625)^2 &= 0,1375^2 = 0,0189 (0,6 - 0,4625)^2 &= 0,1375^2 = 0,0189 (0,3 - 0,4625)^2 &= (-0,1625)^2 = 0,0264 (0,8 - 0,4625)^2 &= 0,3375^2 = 0,1139
Somando tudo:
0,4389 + 0,1314 + 0,0264 + 0,0039 + 0,0189 + 0,0189 + 0,0264 + 0,1139 = 0,7898
Agora, dividimos pela quantidade de graus de liberdade ( n - 1 = 7):
sD = raiz0,78987 approx raiz0,1128 approx 0,3356

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barDsD / raizn = 0,46250,3356 / raiz8 approx 0,46250,1186 approx 3,899

Passo 6

Agora, precisamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico da distribuição t para n - 1 = 7 graus de liberdade e nível de significância alpha = 0,01.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, o valor crítico t para um teste unilateral com 7 graus de liberdade e alpha = 0,01 é aproximadamente 2,998.

Resposta

Como o valor calculado t = 3,899 é maior que o valor crítico 2,998, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências estatísticas suficientes para concluir que a bactéria 1 cresce mais que a bactéria 2 com nível de confiança de 99%.

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