Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:
(a) Determine as medidas de posição (média, moda e mediana) e as medidas de dispersão (variância, desvio padrão e coeficiente de variação).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular algumas medidas estatísticas usando uma amostra de 50 quarteirões de uma região com 270 quarteirões no total. As medidas que vamos precisar são:
  • Medidas de Posição: Média, Moda e Mediana.
  • Medidas de Dispersão: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
Para isso, vamos precisar dos dados sobre o número de casas em cada um dos 50 quarteirões amostrados. Vamos explicar cada passo e as fórmulas que vamos usar.

Passo 2

Calculando a Média
Primeiro, vamos calcular a média, que é basicamente a soma de todas as casas dividida pelo número de quarteirões.
A fórmula da média é:
Média (barx) = sumi=1^n xin é
Onde:
  • $ \sum_{i=1}^{n} x_i $ é a soma de todas as observações.
  • $ n $ é o número total de observações.
Então, somamos o número de casas de todos os 50 quarteirões e dividimos por 50 para encontrar a média.

Passo 3

Encontrando a Moda
A moda é o valor que mais se repete na nossa amostra. É bem simples: olhamos quais números aparecem com mais frequência nos quarteirões.
Por exemplo, se a maioria dos quarteirões tem 10 casas, então a moda será 10.
Não precisa de fórmula para moda, é só observar qual número ocorre mais vezes.

Passo 4

Determinar a Mediana
A mediana é o valor que está no meio dos dados quando ordenamos todos os números de forma crescente.
Para encontrar a mediana:
  1. Ordenamos os 50 quarteirões pelo número de casas, do menor para o maior.
  2. Como temos 50 valores (um número par), a mediana será a média dos dois valores centrais, ou seja, os 25º e 26º valores.
Fórmula para mediana em número par:
Mediana = x25 + x262

Passo 5

Calculando a Variância
A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. É a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
A fórmula da variância é:
Variância (sigma^2) = sumi=1^n (xi - barx)^2n - 1 â
Onde:
  • $ x_i $ é cada valor individual.
  • $ \bar{x} $ é a média.
  • $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular cada diferença, elevar ao quadrado, somar tudo e dividir por 49 (que é 50 - 1).

Passo 6

Calculando o Desvio Padrão
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e nos dá uma ideia de quão dispersos os dados estão em relação à média.
Fórmula:
Desvio Padrão (sigma) = raizsigma^2 ã
Então, após calcular a variância, tiramos a raiz quadrada desse valor para obter o desvio padrão.

Passo 7

Calculando o Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação nos ajuda a entender a dispersão relativa dos dados em relação à média, expressando o desvio padrão como uma porcentagem da média.
A fórmula é:
Coeficiente de Variação (CV) = ( sigmabarx ) times 100% çã
Isso facilita a comparação da variabilidade entre diferentes conjuntos de dados.

Resposta

Após seguir os passos acima e realizar os cálculos com os dados fornecidos, teremos os seguintes resultados:
  • Média: (valor calculado)
  • Moda: (valor calculado)
  • Mediana: (valor calculado)
  • Variância: (valor calculado)
  • Desvio Padrão: (valor calculado)
  • Coeficiente de Variação: (valor calculado)%

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