Considere a função F dada por
F(x)= 0, & se x<0 x^2, & se 0 <= x<12 log (x+12)+14, & se 12 <= x <= k 1 & se x>k
(b) Determine a densidade associada à F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a densidade associada à função $ F(x) $. Isso significa que precisamos encontrar a função $ f(x) $ que representa a densidade de probabilidade, que é basicamente a derivada da função de distribuição acumulada $ F(x) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, aplicados em funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função $ F(x) $ que nos foi dada. Ela está definida por diferentes expressões dependendo do valor de $ x $:
F(x)
O que precisamos fazer é derivar cada parte dessa função para encontrar $ f(x) $.

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira parte:
Para $ x < 0 $, $ F(x) = 0 $.
A derivada de uma constante é zero, então:
x < 0

Passo 4

Agora, para $ 0 \leq x < \frac{1}{2} $, temos $ F(x) = x^{2} $.
A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é:
0 <= x < 12

Passo 5

Em seguida, para $ \frac{1}{2} \leq x \leq k $, a função é $ F(x) = \log \left(x+\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{4} $.
A derivada de $ \log(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $, e aplicando a regra da cadeia, temos:
12 <= x <= k

Passo 6

Finalmente, para $ x > k $, $ F(x) = 1 $.
Novamente, a derivada de uma constante é zero:
x > k

Resposta

A densidade associada à função $ F(x) $ é dada por:
F(x)

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