( (3^circ) O acréscimo anual na área atingida por certa praga produtora de frutas, pode ser modelado por uma variável aleatória contínua, medidas em hectares ( 1 ha =10.000 m^2 ), com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 2 x3, 0
c) Que área, em ha, é esperado ser atingida com 50 % de certeza?

Passo 1

Então, o exercício nos dá uma variável aleatória contínua f(x)= 2x3,&0 (em hectares) com densidade
P(X<= m)=0,5
e pede: “Que área, em ha, é atingida com 50% de certeza?”
Ou seja, a gente precisa achar a mediana de , o valor tal que
Para isso vamos:
  1. Calcular a função de distribuição acumulada em cada trecho.
  2. Resolver .

Passo 2

Primeiro, em F(x) =integral0^x2t3,dt =23,x^22 =x^23 , a CDF é
Lembra que é a probabilidade de a variável ser ≤ , e para isso integramos a densidade.

Passo 3

Em F(x) =F(1)+integral1^xl(1-t3r),dt =13+l[t-t^26r]1^x =13+l(x-x^26-1+16r) , a gente soma a área acumulada até 1 e depois integra de 1 até F(x) =13 + x - x^26 - 56 = x - x^26 - 12 :
  1. Para ,
Fazendo a conta:

Passo 4

Agora buscamos x - x^26 - 12 = 0,5 Longrightarrow x - x^26 = 1 tal que . Como , a mediana está em .
Logo resolvemos

Passo 5

Multiplicando por 6 para limpar o denominador:
6x - x^2 = 6 ;Longrightarrow; x^2 - 6x + 6 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = 6 pm raiz36 - 242 = 6 pm raiz122 = 3 pm raiz3
Como m = 3 - raiz3approx 1,268 escapa do suporte, tomamos

Resposta

A área (mediana) atingida com 50% de certeza é
boxedm = 3 - raiz3approx 1,268 ha

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