(
O acréscimo anual na área atingida por certa praga produtora de frutas, pode ser modelado por uma variável aleatória contínua, medidas em hectares ( 1 ha
), com função densidade de probabilidade dada por:
c) Que área, em ha, é esperado ser atingida com
de certeza?
Passo 1
Então, o exercício nos dá uma variável aleatória contínua
(em hectares) com densidade
e pede: “Que área, em ha, é atingida com 50% de certeza?”
Ou seja, a gente precisa achar a mediana de , o valor
tal que
Ou seja, a gente precisa achar a mediana de
Para isso vamos:
- Calcular a função de distribuição acumulada
em cada trecho. - Resolver
.
Passo 2
Primeiro, em
, a CDF é
Lembra que
é a probabilidade de a variável ser ≤
, e para isso integramos a densidade.
Passo 3
Em
, a gente soma a área acumulada até 1 e depois integra de 1 até
:
-
- Para
,
Fazendo a conta:
Passo 4
Agora buscamos
tal que
. Como
, a mediana está em
.
Logo resolvemos
Logo resolvemos
Passo 5
Multiplicando por 6 para limpar o denominador:
Usando a fórmula de Bhaskara,
Como
escapa do suporte, tomamos
Resposta
A área (mediana) atingida com 50% de certeza é