( (3^circ) O acréscimo anual na área atingida por certa praga produtora de frutas, pode ser modelado por uma variável aleatória contínua, medidas em hectares ( 1 ha =10.000 m^2 ), com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 2 x3, 0
d) Determine o acréscimo esperado anual na área atingida pela praga, em ha.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o acréscimo anual da área afetada por uma praga é uma v.a. contínua f(x)= tfrac2x3, & 0 < x < 1, 1 - tfracx3, & 1 <= x < 3, 0, & caso contrário (em hectares) com densidade
E[X] = integral-infty^+infty x,f(x),dx, á
O que a gente quer é o valor esperado . Para isso, precisamos lembrar que, para uma variável contínua,
ou seja, vamos dividir essa integral em duas partes (0 a 1 e 1 a 3) e calcular cada uma.

Passo 2

Teoria rápida: a expectativa E[X] = integral x,f(x),dx de uma v.a. contínua com densidade E[X] = integral0^1 xcdot2x3,dx ;+; integral1^3 xl(1 - x3r),dx é
Aqui, como o suporte é de 0 a 3 (fora disso ), fazemos

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 xcdot2x3,dx = 23integral0^1 x^2,dx = 23,l[x^33r]0^1 = 23cdot13 = 29

Passo 4

Agora a segunda integral:
integral1^3 xl(1 - x3r),dx = integral1^3!l(x - x^23r),dx = l[x^22 - x^39r]1^3
Calculando os limites:
em integral1^3 xl(1 - tfracx3r),dx = 32 - 718 = 2718 - 718 = 2018 = 109 : .
em : .
Então

Passo 5

Agora é só somar os dois pedaços:
E[X] = 29 + 109 = 129 = 43

Resposta

O acréscimo esperado anual na área atingida pela praga é hectares.

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