Encontre o limite usando, se possível, a regra de L’Hospital. Caso não seja possível, explique:
lim x 1 x-1x^2-1 .

Passo 1

O enunciado pede calcular limxto1x-1x^2-1. Esse tipo de limite pode dar indeterminação do tipo tfrac00, então vamos usar a regra de L’Hospital para resolver.

Passo 2

Ao substituir x=1 no numerador e no denominador, temos
1-1=0 e 1^2-1=0,
portanto é realmente uma forma indeterminada tfrac00, condição para aplicar L’Hospital.

Passo 3

Pela regra de L’Hospital derivamos numerador e denominador em relação a x:
– derivada do numerador ,(x-1)';=;1,
– derivada do denominador ,(x^2-1)';=;2x.
Logo o limite vira
limxto112x
e ao substituir x=1 obtemos tfrac12.

Passo 4

Para reforçar, podemos também fatorar x^2-1=(x-1)(x+1), cancelar o x-1 (válido para xneq1) e ficar com
x-1(x-1)(x+1)=1x+1
Então limxto11x+1=tfrac12, confirmando o mesmo resultado.

Resposta

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