circ Para cada uma das seguintes funções achar partial fpartial x e partial fpartial y.
f) f(x, y)=2 x+3 yy-x

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função dada é . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente, já que temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da função:
N = 2x + 3y e D = y - x

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial Npartial x = partialpartial x(2x + 3y) = 2 e partial Dpartial x = partialpartial x(y - x) = -1 em relação a .
  • Derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos com respeito a obtendo 2, e é tratado como constante, então sua derivada é 0.
  • Derivada parcial de em relação a :
A derivada de com respeito a é 0, e a derivada de é -1.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar partial fpartial x = D cdot partial Npartial x - N cdot partial Dpartial xD^2 :
partial fpartial x = (y - x) cdot 2 - (2x + 3y) cdot (-1)(y - x)^2
Substituindo os valores que encontramos:
partial fpartial x = 2(y - x) + 2x + 3y(y - x)^2 = 5y(y - x)^2
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Npartial y = partialpartial y(2x + 3y) = 3 em relação a partial Dpartial y = partialpartial y(y - x) = 1 . Primeiro, encontramos as derivadas parciais de e em relação a .
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Aplicando novamente a regra do quociente para encontrar partial fpartial y = D cdot partial Npartial y - N cdot partial Dpartial yD^2 :
partial fpartial y = (y - x) cdot 3 - (2x + 3y) cdot 1(y - x)^2
Substituindo os valores:
partial fpartial y = 3(y - x) - 2x - 3y(y - x)^2 = -5x(y - x)^2
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 5y(y - x)^2 são:
partial fpartial y = -5x(y - x)^2
e

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