circunferência Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
c) f(x, y) = ln(x + y).

Passo 1

Beleza, temos que encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las, especialmente as de segunda ordem, que são as derivadas das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de uma função em relação a uma variável significa que a gente deriva a função considerando a outra variável como constante.
Começando com :
Para derivar , onde , usamos a regra da cadeia:
Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Usando a mesma regra da cadeia:

Passo 4

Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem.
Primeiro, derivamos em relação a novamente:
Isso é igual a:

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a :

Passo 7

Por fim, derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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