Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, temos que encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las, especialmente as de segunda ordem, que são as derivadas das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de uma função em relação a uma variável significa que a gente deriva a função considerando a outra variável como constante.
Começando com
:
Para derivar
, onde
, usamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Usando a mesma regra da cadeia:
Passo 4
Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem.
Primeiro, derivamos
em relação a
novamente:
Isso é igual a:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 7
Por fim, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: