circ Para cada uma das seguintes funções achar partial fpartial x e partial fpartial y.
h) f(x, y)=ln (x+2 y)y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais dela em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, tratando uma variável como constante quando derivamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos achar partial fpartial x = 1y^2 cdot 1x + 2y = 1y^2 (x + 2y) . Quando derivamos em relação a , consideramos como uma constante.
A função é . A derivada de em relação a é , já que a derivada de é multiplicada pela derivada de , que no caso é 1 porque e é constante.
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar f(x, y) = ln(x + 2y)y^2 . Aqui, precisamos derivar tanto o numerador quanto o denominador em relação a u' = 2x + 2y .
Temos:
v' = 2y
Usamos a regra do quociente: se partial fpartial y = (2x + 2y) y^2 - ln(x + 2y) cdot 2yy^4 = 2y^2(x + 2y) y^4 - 2y ln(x + 2y)y^4 , então partial fpartial y = 2y^2 (x + 2y) - 2 ln(x + 2y)y^3 = 2(y - ln(x + 2y))y^3 (x + 2y) .
Calculando:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

partial fpartial x = 1y^2 (x + 2y)
partial fpartial y = 2(y - ln(x + 2y))y^3 (x + 2y)

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