8^circ ) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
z=e^2 y sen x no ponto P0(pi / 6,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
z = e^2ysin x
no ponto P0l(tfracpi6,0r). Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para chegar às de segunda ordem.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
partial zpartial x = e^2ycos x, partial zpartial y = 2e^2ysin x

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter as segundas parciais:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial xl(e^2ycos xr) = -e^2ysin x,
partial^2 zpartial xpartial y = partialpartial yl(e^2ycos xr) = 2e^2ycos x,
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial yl(2e^2ysin xr) = 4e^2ysin x
Pela igualdade das derivadas mistas, temos também
partial^2 zpartial ypartial x = 2e^2ycos x

Passo 4

Avaliamo-las em P0l(tfracpi6,0r). Como e^2cdot0=1, sin(tfracpi6)=tfrac12 e cos(tfracpi6)=tfracraiz32, obtemos:
partial^2 zpartial x^2|P0 = -1cdottfrac12 = -tfrac12,
partial^2 zpartial xpartial y|P0 = 2cdot1cdottfracraiz32 = raiz3,
partial^2 zpartial y^2|P0 = 4cdot1cdottfrac12 = 2

Resposta

partial^2 zpartial x^2g|P0 = -tfrac12, partial^2 zpartial xpartial yg|P0 = raiz3, partial^2 zpartial y^2g|P0 = 2

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