3^{\circ} )Calcule as integrais definidas fazendo a substituição u apropriada:
\int_{0}^{\ln (3)} \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida usando uma substituição u apropriada. A integral dada é
\int_{0}^{\ln(3)} \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes do enunciado:
  • O integrando é \dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.
  • Os limites de integração são x=0 (limite inferior) e x=\ln(3) (limite superior).
  • Devemos usar uma substituição u que simplifique a expressão.

Passo 2

Escolhemos a substituição que simplifica o denominador. Definimos
u = 1 + e^{x}.
Agora calculamos a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x temos du = e^{x}\,dx. Isso é ótimo porque o numerador da integral é exatamente e^{x}\,dx, então e^{x}\,dx será substituído por du.

Passo 3

Também transformamos os limites de integração em termos de u:
  • Para x=0: \;u = 1 + e^{0} = 1 + 1 = 2.
  • Para x=\ln(3): \;u = 1 + e^{\ln(3)} = 1 + 3 = 4.
    Agora reescrevemos a integral substituindo e^{x}\,dx por du e (1+e^{x})^{2} por u^{2}:
\int_{0}^{\ln(3)} \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\,dx = \int_{2}^{4} \frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Integramos \dfrac{1}{u^{2}}. É conveniente escrever \dfrac{1}{u^{2}} = u^{-2}. Usamos a regra de potências para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.

Passo 5

Avaliamoa integral definida usando a primitiva F(u) = -\dfrac{1}{u}. Aplicando os limites de u=2 a u=4:
\int_{2}^{4} \frac{1}{u^{2}}\,du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{2}^{4} = \left(-\frac{1}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.
Fazendo a conta: \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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