) Calcule as integrais indefinidas fazendo a substituição
apropriada:
Passo 1
Enunciado: Calcule a integral indefinida usando substituição
apropriada:
O que o problema dá: a função dentro da integral é
.
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função tal que
.
Informações relevantes do enunciado: expoentes muito grandes, mas a integral é de uma potência composta — isso sugere procurar uma substituição que simplifique a expressão.
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
Informações relevantes do enunciado: expoentes muito grandes, mas a integral é de uma potência composta — isso sugere procurar uma substituição que simplifique a expressão.
Passo 2
Primeira manipulação útil (fatorar algo dentro da potência): observe que
Expliquei isso porque ao fatorar fica mais fácil ver se aparece um fator
multiplicando uma função de
, o que facilita a substituição. Essa fatoração é apenas álgebra: coloquei
em evidência.
Passo 3
Use a fatoração para reescrever a integranda levantando a potência:
Aqui usei a propriedade das potências
. Agora a integral fica
e já dá para ver um candidato natural para a substituição: a parte
está elevada a uma potência, e há um fator
multiplicando — isso combina bem com a derivada de
.
Passo 4
Escolha da substituição
e cálculo de
: proponho
Agora calculemos
em termos de
. Para derivar
usamos a regra da potência: se
então
. Aplicando ao nosso caso,
Isolando o produto que aparece na integral:
Essa manipulação é o cerne da substituição: trocamos
por
e
por
.
Passo 5
Substituição na integral: trocando tudo em termos de
,
Fatorando a constante fora da integral:
Explicação: agora temos uma integral simples de potência em
, que podemos resolver com a regra de potência para integrais.
Passo 6
Integração usando a regra da potência: para
vale
Aplicando com
,
Multiplicando pela constante
que estava fora:
Passo 7
Voltar à variável original
: lembrando que
, substituímos de volta:
Conferência rápida (checagem): derivando essa resposta, pela regra da cadeia, obtemos exatamente
, que era a integranda. Assim a primitiva está correta.