2^{\circ} ) Calcule as integrais indefinidas fazendo a substituição u apropriada:
\int\left(x^{2025}+x\right)^{2023} d x

Passo 1

Enunciado: Calcule a integral indefinida usando substituição u apropriada:
\int\left(x^{2025}+x\right)^{2023}\,dx.
O que o problema dá: a função dentro da integral é \left(x^{2025}+x\right)^{2023}.
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) = \left(x^{2025}+x\right)^{2023}.
Informações relevantes do enunciado: expoentes muito grandes, mas a integral é de uma potência composta — isso sugere procurar uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeira manipulação útil (fatorar algo dentro da potência): observe que
x^{2025}+x = x\left(x^{2024}+1\right).
Expliquei isso porque ao fatorar fica mais fácil ver se aparece um fator x^{k} multiplicando uma função de x^{2024}+1, o que facilita a substituição. Essa fatoração é apenas álgebra: coloquei x em evidência.

Passo 3

Use a fatoração para reescrever a integranda levantando a potência:
\left(x^{2025}+x\right)^{2023} = \left(x\left(x^{2024}+1\right)\right)^{2023} = x^{2023}\left(x^{2024}+1\right)^{2023}.
Aqui usei a propriedade das potências \left(ab\right)^{n} = a^{n} b^{n}. Agora a integral fica
\int x^{2023}\left(x^{2024}+1\right)^{2023}\,dx,
e já dá para ver um candidato natural para a substituição: a parte \left(x^{2024}+1\right) está elevada a uma potência, e há um fator x^{2023}\,dx multiplicando — isso combina bem com a derivada de x^{2024}+1.

Passo 4

Escolha da substituição u e cálculo de du: proponho
u = x^{2024}+1.
Agora calculemos du em termos de dx. Para derivar u usamos a regra da potência: se u=x^{n} então du = n x^{n-1} dx. Aplicando ao nosso caso,
du = 2024\,x^{2023}\,dx.
Isolando o produto que aparece na integral:
x^{2023}\,dx = \frac{du}{2024}.
Essa manipulação é o cerne da substituição: trocamos x^{2023}\,dx por \frac{du}{2024} e \left(x^{2024}+1\right) por u.

Passo 5

Substituição na integral: trocando tudo em termos de u,
\int x^{2023}\left(x^{2024}+1\right)^{2023}\,dx = \int \left(u^{2023}\right)\left(\frac{du}{2024}\right).
Fatorando a constante fora da integral:
= \frac{1}{2024}\int u^{2023}\,du.
Explicação: agora temos uma integral simples de potência em u, que podemos resolver com a regra de potência para integrais.

Passo 6

Integração usando a regra da potência: para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=2023,
\int u^{2023}\,du = \frac{u^{2024}}{2024} + C.
Multiplicando pela constante \tfrac{1}{2024} que estava fora:
\frac{1}{2024}\cdot\frac{u^{2024}}{2024} + C = \frac{u^{2024}}{2024^{2}} + C.

Passo 7

Voltar à variável original x: lembrando que u = x^{2024}+1, substituímos de volta:
\frac{u^{2024}}{2024^{2}} + C = \frac{\left(x^{2024}+1\right)^{2024}}{2024^{2}} + C.
Conferência rápida (checagem): derivando essa resposta, pela regra da cadeia, obtemos exatamente x^{2023}\left(x^{2024}+1\right)^{2023}, que era a integranda. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{2024}+1\right)^{2024}}{2024^{2}}+C

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