2^{\circ} ) Calcule as integrais indefinidas fazendo a substituição u apropriada:
\int \frac{\ln (t)}{t * \sqrt{1-(\ln (t))^{2}}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln(t)}{t\sqrt{1-(\ln(t))^{2}}}\,dt.
Informações dadas e o que se pede:
  • A integranda é \dfrac{\ln(t)}{t\sqrt{1-(\ln(t))^{2}}}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(t) tal que F'(t) seja a integranda.
  • Não foi dado método obrigatório, mas o enunciado sugere usar uma substituição u apropriada.

Passo 2

Observação sobre estrutura da integranda (isso nos guia na escolha de u):
  • Note que aparece \ln(t) e também o fator 1/t multiplicando dt. Isso é um sinal clássico de que a substituição u=\ln(t) vai simplificar, porque a derivada de \ln(t) é 1/t.
    Façamos a substituição:
u=\ln(t).
Agora calculamos du. Como \dfrac{d}{dt}\ln(t)=\dfrac{1}{t}, temos
du=\frac{1}{t}\,dt.

Passo 3

Substituímos na integral usando u=\ln(t) e du=\dfrac{1}{t}\,dt.
A parte dt combinada com 1/t vira du, e \ln(t) vira u. Assim:
\int \frac{\ln(t)}{t\sqrt{1-(\ln(t))^{2}}}\,dt = \int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Agora a integral está em termos de u: \int \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.

Passo 4

Como resolver \displaystyle \int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du?
Opção direta: reconhecer que a derivada de \sqrt{1-u^{2}} é -\dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}. Mas vou mostrar com uma substituição auxiliar para ficar bem claro.
Defina
v = 1-u^{2}.
Então
dv = -2u\,du \quad\Rightarrow\quad u\,du = -\frac{1}{2}\,dv.

Passo 5

Substituindo v na integral:
\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = \int \frac{u}{\sqrt{v}}\,du = \int \frac{1}{\sqrt{v}}\left(u\,du\right).
Usando u\,du = -\dfrac{1}{2}\,dv, obtemos
\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = \int \frac{1}{\sqrt{v}}\left(-\frac{1}{2}\,dv\right) = -\frac{1}{2}\int v^{-1/2}\,dv.
Agora integramos v^{-1/2}:
\int v^{-1/2}\,dv = \frac{v^{1/2}}{1/2} = 2v^{1/2}.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2} temos
-\frac{1}{2}\cdot 2v^{1/2} = -v^{1/2}.
Voltando a u, isso dá
\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = -\sqrt{v} + C = -\sqrt{1-u^{2}} + C.

Passo 6

Voltemos à variável original t usando u=\ln(t). Substituindo:
\int \frac{\ln(t)}{t\sqrt{1-(\ln(t))^{2}}}\,dt = -\sqrt{1-(\ln(t))^{2}} + C.
Observação sobre domínio (importante para uso na prova): a expressão sob a raiz exige 1-(\ln(t))^{2}\ge 0, isto é |\ln(t)|\le 1, correspondente a e^{-1}\le t\le e. A primitiva encontrada vale (como fórmula) em qualquer intervalo onde a integranda seja contínua; se trabalhar fora desse intervalo, a raiz e o sinal precisam ser considerados com cuidado.

Resposta

-\sqrt{1-(\ln(t))^{2}}+C

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