) Calcule as integrais indefinidas fazendo a substituição
apropriada:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
- A integranda é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que seja a integranda. - Não foi dado método obrigatório, mas o enunciado sugere usar uma substituição
apropriada.
Passo 2
Observação sobre estrutura da integranda (isso nos guia na escolha de
):
- Note que aparece
e também o fator multiplicando . Isso é um sinal clássico de que a substituição vai simplificar, porque a derivada de é .
Façamos a substituição:
Agora calculamos
. Como
, temos
Passo 3
Substituímos na integral usando
e
.
A parte combinada com
vira
, e
vira
. Assim:
A parte
Agora a integral está em termos de
:
.
Passo 4
Como resolver
?
Opção direta: reconhecer que a derivada de é
. Mas vou mostrar com uma substituição auxiliar para ficar bem claro.
Defina
Opção direta: reconhecer que a derivada de
Defina
Então
Passo 5
Substituindo
na integral:
Usando
, obtemos
Agora integramos
:
Multiplicando pelo fator
temos
Voltando a
, isso dá
Passo 6
Voltemos à variável original
usando
. Substituindo:
Observação sobre domínio (importante para uso na prova): a expressão sob a raiz exige
, isto é
, correspondente a
. A primitiva encontrada vale (como fórmula) em qualquer intervalo onde a integranda seja contínua; se trabalhar fora desse intervalo, a raiz e o sinal precisam ser considerados com cuidado.