3^{\circ} )Calcule as integrais definidas fazendo a substituição u apropriada:
\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin (2 \theta)}{1+\cos (2 \theta)} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}\,d\theta.
Informações dadas:
\text{integração no intervalo } \theta\in[0,\pi/4], \qquad \text{integrando } \frac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}.çã
A tarefa é fazer uma substituição u apropriada para resolver essa integral.

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando antes de substituir. As identidades que precisamos são:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta
\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1
A partir da segunda, obtemos
1+\cos(2\theta)=1+(2\cos^2\theta-1)=2\cos^2\theta.
Essas identidades transformam funções de 2\theta em expressões com \sin\theta e \cos\theta, o que costuma facilitar substituições.

Passo 3

Substituindo as identidades no integrando:
\frac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\,d\theta.
Note que \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta, então também poderíamos escrever \int_{0}^{\pi/4}\tan\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora fazemos a substituição u apropriada. Uma escolha natural é
u=\cos\theta,
pois o numerador contém \sin\theta\,d\theta e
du=-\sin\theta\,d\theta.
Transformando a integral definida e seus limites: quando \theta=0, u=\cos 0=1; quando \theta=\pi/4, u=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. A diferencial \sin\theta\,d\theta aparece com sinal negativo, então
\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\cos\theta}\,\sin\theta\,d\theta = \int_{1}^{\sqrt{2}/2}\frac{-1}{u}\,du.

Passo 5

Reescrevendo a integral com o sinal e os novos limites:
\int_{1}^{\sqrt{2}/2}\frac{-1}{u}\,du = -\int_{1}^{\sqrt{2}/2}\frac{1}{u}\,du.
A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Então a integral indefinida leva a
-\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C.

Passo 6

Avaliamo-la nos limites:
-\left[\ln|u|\right]_{1}^{\sqrt{2}/2} = -\bigg(\ln\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)-\ln(1)\bigg).
Como \ln(1)=0, isso fica
-\,\ln\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big).
Calculamos \ln\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big). Observando que \tfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2}, temos
\ln\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=\ln(2^{-1/2})=-\tfrac{1}{2}\ln 2.
Portanto
-\,\ln\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=-\big(-\tfrac{1}{2}\ln 2\big)=\tfrac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\tfrac{1}{2}\ln 2

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