)Calcule as integrais definidas fazendo a substituição
apropriada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
A tarefa é fazer uma substituição
apropriada para resolver essa integral.
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando antes de substituir. As identidades que precisamos são:
A partir da segunda, obtemos
Essas identidades transformam funções de
em expressões com
e
, o que costuma facilitar substituições.
Passo 3
Substituindo as identidades no integrando:
Portanto a integral fica
Note que
, então também poderíamos escrever
.
Passo 4
Agora fazemos a substituição
apropriada. Uma escolha natural é
pois o numerador contém
e
Transformando a integral definida e seus limites: quando
,
; quando
,
. A diferencial
aparece com sinal negativo, então
Passo 5
Reescrevendo a integral com o sinal e os novos limites:
A primitiva de
é
. Então a integral indefinida leva a
Passo 6
Avaliamo-la nos limites:
Como
, isso fica
Calculamos
. Observando que
, temos
Portanto