e indica explicitamente que se deve usar frações parciais. As informações que temos são:
O numerador é \,2x^{2}+3x+1\,.
O denominador é (x+1)(x^{2}+1), já fatorado em um fator linear (x+1) e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1).
Buscamos a primitiva (a integral indefinida) com constante de integração C.
Passo 2
Ideia das frações parciais (explicação didática): quando uma função racional tem denominador fatorado em fatores distintos, podemos escrever uma decomposição em termos de frações mais simples cujo somatório é igual à função original. Para um fator linear (x+1) usa-se uma constante no numerador; para um quadrado irreduzível (x^{2}+1) usa-se um polinômio de grau menor que 2, isto é, Bx+C. Portanto propomos a decomposição
Agora integramos cada parte e explico a técnica usada.
Para \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx: note que o numerador 2x é exatamente a derivada do denominador x^{2}+1 (pois \frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x). Sempre que tivermos \int \frac{u'}{u}\,dx a primitiva é \ln|u|. Assim, com u=x^{2}+1,
(Observação: x^{2}+1>0 para todo x, então podemos omitir as barras de valor absoluto se quisermos, mas manterei a forma usual \ln(x^{2}+1).)
Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx: esta é a primitiva padrão da função arco-tangente, porque \frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{x^{2}+1}. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Passo 7
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva final:
\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \arctan x + C.
Esse é o resultado pedido. Parabéns — apesar de parecer muita coisa no começo, a decomposição levou a uma integral bem simples.