6^{\circ} ) Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais.
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1) *\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}\,dx
e indica explicitamente que se deve usar frações parciais. As informações que temos são:
  • O numerador é \,2x^{2}+3x+1\,.
  • O denominador é (x+1)(x^{2}+1), já fatorado em um fator linear (x+1) e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1).
  • Buscamos a primitiva (a integral indefinida) com constante de integração C.

Passo 2

Ideia das frações parciais (explicação didática): quando uma função racional tem denominador fatorado em fatores distintos, podemos escrever uma decomposição em termos de frações mais simples cujo somatório é igual à função original. Para um fator linear (x+1) usa-se uma constante no numerador; para um quadrado irreduzível (x^{2}+1) usa-se um polinômio de grau menor que 2, isto é, Bx+C. Portanto propomos a decomposição
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes reais a determinar. Aqui A,B,C são coeficientes desconhecidos que vamos encontrar igualando polinômios.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) para eliminar denominadores, obtemos a identidade polinomial
2x^{2}+3x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar termos por potências de x. Primeiro expandir:
A(x^{2}+1)=Ax^{2}+A,
(Bx+C)(x+1)=Bx^{2}+Bx+Cx+C = Bx^{2}+(B+C)x+\text{(C)}.
Somando os dois pedaços:
A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x+1)=(A+B)x^{2}+(B+C)x+(A+C).
Portanto a igualdade de polinômios dá o sistema de igualação de coeficientes:
\begin{cases} A+B = 2,\\[4pt] B+C = 3,\\[4pt] A+C = 1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação (A+B=2) temos B=2-A. Da terceira (A+C=1) temos C=1-A. Substituindo B e C na segunda equação:
B+C=(2-A)+(1-A)=3-2A.
Mas a segunda equação exige B+C=3, logo
3-2A=3 \quad\Rightarrow\quad -2A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Com A=0 encontramos B=2-A=2 e C=1-A=1. Assim os coeficientes são
A=0,\qquad B=2,\qquad C=1.

Passo 5

Substituindo esses valores na decomposição inicial obtemos
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{0}{x+1}+\frac{2x+1}{x^{2}+1}=\frac{2x+1}{x^{2}+1}.
Portanto a integral simplifica para
\int \frac{2x+1}{x^{2}+1}\,dx.
Dividimos em duas integrais mais simples:
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx \;+\; \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Agora integramos cada parte e explico a técnica usada.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx: note que o numerador 2x é exatamente a derivada do denominador x^{2}+1 (pois \frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x). Sempre que tivermos \int \frac{u'}{u}\,dx a primitiva é \ln|u|. Assim, com u=x^{2}+1,
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
(Observação: x^{2}+1>0 para todo x, então podemos omitir as barras de valor absoluto se quisermos, mas manterei a forma usual \ln(x^{2}+1).)
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx: esta é a primitiva padrão da função arco-tangente, porque \frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{x^{2}+1}. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.

Passo 7

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva final:
\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \arctan x + C.
Esse é o resultado pedido. Parabéns — apesar de parecer muita coisa no começo, a decomposição levou a uma integral bem simples.

Resposta

\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan x + C

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