) Calcule as seguintes integrais usando a substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a razão racional com denominador quadrático
. - O objetivo é calcular a primitiva (integral indefinida) dessa função usando uma substituição trigonométrica adequada.
Passo 2
Primeiro simplificamos o denominador completando o quadrado — isso deixa a expressão num formato padrão
que combina bem com substituição trigonométrica. Fazendo:
Portanto a integral fica
Explicação do que fiz: completar o quadrado transforma um quadrático em algo do tipo
, o que facilita usar fórmulas conhecidas ou substituições trigonométricas.
Passo 3
Para integrais do tipo
uma substituição trigonométrica conveniente é
. Aqui temos
e
porque
Então escolhemos a substituição trigonométrica
Agora calculemos
em função de
. Diferenciando:
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Agora simplificamos o denominador:
Logo a integral vira
Passo 5
Integrando em
obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora voltamos à variável
. Da substituição
segue
portanto
Substituindo em
obtemos a primitiva na variável
:
Observação didática: a mesma resposta poderia ser obtida mais rapidamente usando a fórmula direta
com
e
; a substituição trigonométrica que fizemos é a justificativa padrão por trás dessa fórmula.