3^{\circ} ) Calcule as seguintes integrais usando a substituição trigonométrica adequada.
\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{2}+2x+10}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a razão racional com denominador quadrático x^{2}+2x+10.
  • O objetivo é calcular a primitiva (integral indefinida) dessa função usando uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 2

Primeiro simplificamos o denominador completando o quadrado — isso deixa a expressão num formato padrão \,u^{2}+a^{2}\, que combina bem com substituição trigonométrica. Fazendo:
x^{2}+2x+10=(x^{2}+2x+1)+9=(x+1)^{2}+9.
Portanto a integral fica
\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+9}.
Explicação do que fiz: completar o quadrado transforma um quadrático em algo do tipo (x+{\rm const})^{2}+{\rm const}, o que facilita usar fórmulas conhecidas ou substituições trigonométricas.

Passo 3

Para integrais do tipo \displaystyle\int\frac{dx}{u^{2}+a^{2}} uma substituição trigonométrica conveniente é u=a\tan\theta. Aqui temos u=x+1 e a=3 porque
(x+1)^{2}+9=(x+1)^{2}+3^{2}.
Então escolhemos a substituição trigonométrica
x+1=3\tan\theta.
Agora calculemos dx em função de d\theta. Diferenciando:
d(x+1)=dx=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Substituímos x+1=3\tan\theta e dx=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta na integral:
\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+9} =\int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(3\tan\theta)^{2}+9}.
Agora simplificamos o denominador:
(3\tan\theta)^{2}+9=9\tan^{2}\theta+9=9(\tan^{2}\theta+1)=9\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo a integral vira
\int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{9\operatorname{sec}^{2}\theta} =\int \frac{3}{9}\,d\theta =\int \frac{1}{3}\,d\theta.

Passo 5

Integrando em \theta obtemos
\int \frac{1}{3}\,d\theta=\frac{\theta}{3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora voltamos à variável x. Da substituição x+1=3\tan\theta segue
\tan\theta=\frac{x+1}{3},
portanto
\theta=\arctan\!\left(\frac{x+1}{3}\right).
Substituindo em \dfrac{\theta}{3}+C obtemos a primitiva na variável x:
\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x+1}{3}\right)+C.
Observação didática: a mesma resposta poderia ser obtida mais rapidamente usando a fórmula direta
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
com u=x+1 e a=3; a substituição trigonométrica que fizemos é a justificativa padrão por trás dessa fórmula.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x+1}{3}\right)+C

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