Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem. Nestes pontos, encontre
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem, ou seja, que minimizam
sujeito à restrição
Vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar esses pontos e depois, por diferenciação implícita, obter
nesses pontos.
Passo 2
Definimos
Pela condição de Lagrange existe
tal que
isto é
Passo 3
Como buscamos pontos com
, podemos dividir por
,
e
, obtendo
Da igualdade entre essas expressões segue
Substituindo em
dá
, logo
(e idem para
,
).
Passo 4
Portanto os pontos mais próximos da origem são
oito pontos com
.
Passo 5
Para
usamos diferenciação implícita da restrição
mantendo
constante. Fazendo
, com
temos
Passo 6
Simplificando,
Nos pontos
temos
e
, então
Em particular, se
e
têm mesmo sinal então
, caso contrário vale
.
Resposta
Os pontos mais próximos da origem são
Neles
que assume valor
quando
e
têm o mesmo sinal e
caso contrário.