Determine os pontos da superfície x^2 y^2 z^2=1 que estão mais próximos da origem. Nestes pontos, encontre partial zpartial y.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da superfície
x^2y^2z^2 = 1
que estão mais próximos da origem, ou seja, que minimizam
D(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
sujeito à restrição
F(x,y,z) = x^2y^2z^2 - 1 = 0
Vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar esses pontos e depois, por diferenciação implícita, obter partial z/partial y nesses pontos.

Passo 2

Definimos
nabla D = (2x,,2y,,2z), nabla F = l(2x,y^2z^2,;2y,x^2z^2,;2z,x^2y^2r)
Pela condição de Lagrange existe lambda tal que
nabla D = lambda,nabla F,
isto é
2x = lambdacdot 2x,y^2z^2, 2y = lambdacdot 2y,x^2z^2, 2z = lambdacdot 2z,x^2y^2

Passo 3

Como buscamos pontos com x,y,zneq0, podemos dividir por 2x, 2y e 2z, obtendo
1 = lambda,y^2z^2, 1 = lambda,x^2z^2, 1 = lambda,x^2y^2
Da igualdade entre essas expressões segue
y^2z^2 = x^2z^2 = x^2y^2 Longrightarrow x^2 = y^2 = z^2
Substituindo em x^2y^2z^2=1 (x^2)^3=1, logo x^2=1 (e idem para y^2, z^2).

Passo 4

Portanto os pontos mais próximos da origem são
(x,y,z) = (pm1,pm1,pm1),
oito pontos com D=1+1+1=3.

Passo 5

Para partial z/partial y usamos diferenciação implícita da restrição
F(x,y,z)=x^2y^2z^2-1=0,
mantendo x constante. Fazendo dF=Fy,dy + Fz,dz=0, com
Fy = 2y,x^2z^2, Fz = 2z,x^2y^2,
temos
Fy + Fz,partial zpartial y = 0 Longrightarrow partial zpartial y = -FyFz = -2y,x^2z^22z,x^2y^2

Passo 6

Simplificando,
partial zpartial y = -y,z^2z,y^2 = -zy
Nos pontos (pm1,pm1,pm1) temos z=pm1 e y=pm1, então
partial zpartial y = -pm1pm1 = pm1
Em particular, se z e y têm mesmo sinal então partial z/partial y=-1, caso contrário vale +1.

Resposta

Os pontos mais próximos da origem são
(pm1,pm1,pm1)
Neles
partial zpartial y = -zy,
que assume valor -1 quando z e y têm o mesmo sinal e +1 caso contrário.

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