2^{\circ} ) Calcule a Transformada de Laplace da função
f(t)=\left\{\begin{aligned} \operatorname{sen} t, & \text { se } 0 \leq t<\pi \\\\ 0, & \text { se } t \geq \pi \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} \sin t,&0\le t<\pi,\\\\ 0,&t\ge\pi. \end{cases}
O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e o cálculo de uma integral imprópria.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt =\int_{0}^{\pi}e^{-st}\sin t\,dt.

Passo 3

Usamos a fórmula padrão
\int e^{at}\sin(bt)\,dt =\frac{e^{at}\bigl(a\sin(bt)-b\cos(bt)\bigr)}{a^{2}+b^{2}},
aqui com a=-s e b=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula em 0\le t\le\pi, obtemos
\int_{0}^{\pi}e^{-st}\sin t\,dt =\left.\frac{e^{-st}\bigl(-s\sin t-\cos t\bigr)}{s^{2}+1}\right|_{0}^{\pi} =\frac{e^{-s\pi}(1)-(-1)}{s^{2}+1} =\frac{e^{-s\pi}+1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Portanto a transformada de Laplace de f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1}.

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