Use o primeiro Teorema do deslocamento para obter a Transformada de Laplace das funções abaixo:
f(t)=t e^{4 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t\,e^{4t}.
O conteúdo principal é o primeiro Teorema do deslocamento na variável s, que afirma:
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s-a),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s). Para aplicar isso, precisamos primeiro saber \mathcal{L}\{g(t)\} para g(t)=t.

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\{t\}(s). Pela definição
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt
e esse integral é conhecido:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^2},\quad \Re(s)>0.

Passo 3

Aplicar o teorema do deslocamento com a=4 e g(t)=t. Como \mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^2, então
\mathcal{L}\{e^{4t}\,t\}(s)=\frac{1}{(s-4)^2},
válido para \Re(s-4)>0, ou seja \Re(s)>4.

Resposta

\mathcal{L}\{t\,e^{4t}\}(s)=\frac{1}{(s-4)^2},\quad \Re(s)>4.

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