Use o segundo teorema do deslocamento para encontrar a transformada de Laplace das funções abaixo.
f(t)=(3 t+1) u(t-3)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t) = (3\,t + 1)\,u(t - 3)
usando o segundo teorema do deslocamento (ou teorema da exponenciação). Vamos reescrever f(t) no formato g(t - a)\,u(t - a) e depois aplicar o teorema.

Passo 2

Definimos a mudança de variável x = t - 3. Então
3\,t + 1 = 3\,(x + 3) + 1 = 3\,x + 10.
Fica assim
f(t) = \bigl(3\,x + 10\bigr)\,u(t - 3)\quad\text{com }x = t-3,
ou seja
f(t) = g(t - 3)\,u(t - 3)\quad\text{onde }g(x) = 3\,x + 10.

Passo 3

O segundo teorema do deslocamento afirma que, se
f(t) = g(t - a)\,u(t - a),
então
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = e^{-a s}\,G(s),
onde G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 4

Calculamos
G(s) = \mathcal{L}\{3\,t + 10\}(s) = 3\,\mathcal{L}\{t\}(s) + 10\,\mathcal{L}\{1\}(s).
Como \mathcal{L}\{t\}(s) = 1/s^{2} e \mathcal{L}\{1\}(s) = 1/s, obtemos
G(s) = 3\cdot\frac{1}{s^{2}} + 10\cdot\frac{1}{s} = \frac{3}{s^{2}} + \frac{10}{s}.

Passo 5

Aplicando o teorema com a=3, temos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = e^{-3s}\,\Bigl(\frac{3}{s^{2}} + \frac{10}{s}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{(3\,t + 1)\,u(t - 3)\}(s) = e^{-3s}\,\Bigl(\frac{3}{s^{2}} + \frac{10}{s}\Bigr).

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