3^{\circ} - Considere ninhadas de 3 filhotes de coelhos, sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X.

Passo 1

O enunciado dá uma ninhada com 3 filhotes de coelhos e define X como a ocorrência (o número) de fêmeas nessa ninhada. A tarefa é construir a distribuição de probabilidade de X, ou seja, encontrar \Pr(X=k) para k=0,1,2,3.
Informações relevantes dadas:
  • Tamanho da ninhada: 3 filhotes.
  • Variável aleatória: X= número de fêmeas na ninhada.
  • O enunciado não dá outra informação (como probabilidade diferente para fêmea), então iremos assumir o caso padrão onde cada filhote é feminino com probabilidade 1/2 e os filhotes são independentes entre si.

Passo 2

Explicando a suposição e por que ela é natural:
  • Quando não é dada outra informação, assume-se que cada filhote tem igual chance de ser fêmea ou macho, isto é, p=\Pr(\text{fêmea})=\tfrac{1}{2}ê.
  • Independência significa que o sexo de um filhote não afeta o sexo dos outros. Com essas duas hipóteses, cada combinação de sexos para os 3 filhotes tem a mesma probabilidade.
    Se essas hipóteses não forem válidas no problema real (por exemplo, se houver viés em favor de fêmeas), haveria que usar outro valor de p.

Passo 3

Contando os resultados possíveis (estratégia concreta):
  • Cada filhote pode ser \text{F} (fêmea) ou \text{M} (macho).
  • O número total de sequências possíveis de sexo para 3 filhotes é 2^3=8.
  • Exemplos das 8 sequências (colocadas em forma de tuplas): \,(\text{F},\text{F},\text{F}),\;(\text{F},\text{F},\text{M}),\;(\text{F},\text{M},\text{F}),\;(\text{M},\text{F},\text{F}),\;(\text{F},\text{M},\text{M}),\;(\text{M},\text{F},\text{M}),\;(\text{M},\text{M},\text{F}),\;(\text{M},\text{M},\text{M}).
  • Todas essas sequências têm probabilidade igual \left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8} sob a hipótese p=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Introduzindo a fórmula da distribuição binomial (a matéria chave aqui):
  • Quando há n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso (aqui sucesso = filhote fêmea) em cada um, o número de sucessos X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p.
  • A função de probabilidade da binomial é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta quantas sequências têm exatamente k sucessos.
  • O coeficiente binomial é definido por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso com n=3 e p=\tfrac{1}{2}:
  • A fórmula fica
\Pr(X=k)=\binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3-k}=\binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3},
para k=0,1,2,3. Note que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3-k}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} simplifica bem.
Vamos calcular cada valor, lembrando que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8}:
  • Para k=0:
\binom{3}{0}=1,\qquad \Pr(X=0)=1\cdot \tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{8}.
  • Para k=1:
\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!2!}=3,\qquad \Pr(X=1)=3\cdot \tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8}.
(Interpretação combinatória: há 3 posições em que a única fêmea pode aparecer, por isso 3 sequências.)
  • Para k=2:
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=3,\qquad \Pr(X=2)=3\cdot \tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8}.
(Analogamente, há 3 formas de escolher quais dois filhotes são fêmeas.)
  • Para k=3:
\binom{3}{3}=1,\qquad \Pr(X=3)=1\cdot \tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{8}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência:
  • Somando as probabilidades: \tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{8}{8}=1. Boa — é uma distribuição legítima.
  • Observação útil para prova: para distribuir k sucessos em n ensaios pense sempre em contar as posições (usar \binom{n}{k}) e multiplicar pela probabilidade de cada sequência p^{k}(1-p)^{n-k}.

Passo 7

Além da distribuição, algumas fórmulas rápidas que valem decorar:
  • Valor esperado (média) de X:
\mathbb{E}[X]=np=3\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
  • Variância de X:
\operatorname{Var}(X)=np(1-p)=3\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{4}.
Essas fórmulas aparecem frequentemente em provas e são fáceis de aplicar.

Resposta

\Pr(X=0)=\tfrac{1}{8}
\Pr(X=1)=\tfrac{3}{8}
\Pr(X=2)=\tfrac{3}{8}
\Pr(X=3)=\tfrac{1}{8}

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