- Considere ninhadas de 3 filhotes de coelhos, sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X.
Passo 1
O enunciado dá uma ninhada com
filhotes de coelhos e define
como a ocorrência (o número) de fêmeas nessa ninhada. A tarefa é construir a distribuição de probabilidade de
, ou seja, encontrar
para
.
Informações relevantes dadas:
- Tamanho da ninhada:
filhotes. - Variável aleatória:
número de fêmeas na ninhada. - O enunciado não dá outra informação (como probabilidade diferente para fêmea), então iremos assumir o caso padrão onde cada filhote é feminino com probabilidade
e os filhotes são independentes entre si.
Passo 2
Explicando a suposição e por que ela é natural:
- Quando não é dada outra informação, assume-se que cada filhote tem igual chance de ser fêmea ou macho, isto é,
. - Independência significa que o sexo de um filhote não afeta o sexo dos outros. Com essas duas hipóteses, cada combinação de sexos para os
filhotes tem a mesma probabilidade.
Se essas hipóteses não forem válidas no problema real (por exemplo, se houver viés em favor de fêmeas), haveria que usar outro valor de.
Passo 3
Contando os resultados possíveis (estratégia concreta):
- Cada filhote pode ser
(fêmea) ou (macho). - O número total de sequências possíveis de sexo para
filhotes é . - Exemplos das
sequências (colocadas em forma de tuplas): . - Todas essas sequências têm probabilidade igual
sob a hipótese .
Passo 4
Introduzindo a fórmula da distribuição binomial (a matéria chave aqui):
- Quando há
ensaios independentes com probabilidade de sucesso (aqui sucesso = filhote fêmea) em cada um, o número de sucessos segue a distribuição binomial com parâmetros e . - A função de probabilidade da binomial é
onde
é o coeficiente binomial que conta quantas sequências têm exatamente
sucessos.
- O coeficiente binomial é definido por
onde
(fatorial) é o produto
.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso com
e
:
- A fórmula fica
para
. Note que
simplifica bem.
Vamos calcular cada valor, lembrando que
:
- Para
:
- Para
:
(Interpretação combinatória: há 3 posições em que a única fêmea pode aparecer, por isso 3 sequências.)
- Para
:
(Analogamente, há 3 formas de escolher quais dois filhotes são fêmeas.)
- Para
:
Passo 6
Verificação rápida de consistência:
- Somando as probabilidades:
. Boa — é uma distribuição legítima. - Observação útil para prova: para distribuir
sucessos em ensaios pense sempre em contar as posições (usar ) e multiplicar pela probabilidade de cada sequência .
Passo 7
Além da distribuição, algumas fórmulas rápidas que valem decorar:
- Valor esperado (média) de
:
- Variância de
:
Essas fórmulas aparecem frequentemente em provas e são fáceis de aplicar.