5^{\circ}\) - Uma variável aleatória \(X\) tem a seguinte função de probabilidade:
\[P(x)= \begin{cases}0,2 & \text { se } x=-1 \text { ou } x=5 \text { ou } x=6 \\\\ 0,3 & \text { se } x=2 \\\\ 0,1 & \text { se } x=15 \\\\ 0 & \text { para outros valores. }\end{cases}
Determine:
a) A função de distribuição acumulada de X\].
b) \(P(X \leq 2).
c) P(X<2)
d) P(3 \leq X \leq 12)
e) P(X>14)
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidade (pmf) de uma variável aleatória [X). Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
O suporte (valores possíveis de X\]) é \(\{-1,\,2,\,5,\,6,\,15\}.
Verifiquei que as probabilidades somam 0{,}2+0{,}3+0{,}2+0{,}2+0{,}1=1.
O que o enunciado pede:
a) Determinar a função de distribuição acumulada de X (a função F(x)=P(X\le x)).
b) Calcular P(X\le 2).
c) Calcular P(X<2).
d) Calcular P(3\le X\le 12).
e) Calcular P(X>14).]
Passo 2
O que é a função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória discreta e como calculá-la na prática.
Definição e ideia prática:
Para qualquer número real x, a função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x).
Quando X é discreta com suporte finito, F(x) é obtida somando as probabilidades dos pontos do suporte menores ou iguais a x:
F(x)=\sum_{t:\,t\le x} P(X=t).
A CDF é uma função que é constante entre os pontos do suporte e tem saltos exatamente nos pontos onde X tem massa de probabilidade. O tamanho do salto em um ponto t é P(X=t).
Em notação prática: para calcular F(x) basta listar os pontos do suporte em ordem crescente e ir somando as probabilidades até ultrapassar x.
Passo 3
Vamos ordenar o suporte e calcular as somas acumuladas passo a passo.
Valores do suporte em ordem crescente: -1,\,2,\,5,\,6,\,15.
Somatórios acumulados:
Para x< -1: não inclui nenhum ponto do suporte, então
F(x)=0.
Para -1 \le x < 2: inclui apenas x=-1, então
F(x)=P(X=-1)=0{,}2.
Para 2 \le x < 5: inclui x=-1 e x=2, então
F(x)=P(X=-1)+P(X=2)=0{,}2+0{,}3=0{,}5.
Para 5 \le x < 6: inclui -1,2,5, então
F(x)=0{,}2+0{,}3+0{,}2=0{,}7.
Para 6 \le x < 15: inclui -1,2,5,6, então
F(x)=0{,}2+0{,}3+0{,}2+0{,}2=0{,}9.
Para x\ge 15: inclui todos os pontos do suporte, então
F(x)=1.
Passo 4
Escrevendo a função de distribuição acumulada F(x) de forma organizada (função por partes). Isso resume os cálculos do passo anterior:
F(x)=P(X\le x)= \begin{cases} 0, & x< -1,\\[4pt] 0{,}2, & -1 \le x < 2,\\[4pt] 0{,}5, & 2 \le x < 5,\\[4pt] 0{,}7, & 5 \le x < 6,\\[4pt] 0{,}9, & 6 \le x < 15,\\[4pt] 1, & x\ge 15. \end{cases}]
Passo 5
Calcular P(X\le 2).
Pela definição,
P(X\le 2)=F(2).
Pelo cálculo acumulado (passo 3), para 2 \le x < 5 temos F(x)=0{,}5. Em particular,
P(X\le 2)=0{,}5.
Também pode-se ver como soma direta: P(X=-1)+P(X=2)=0{,}2+0{,}3=0{,}5.
Passo 6
Calcular P(X<2).
Para variável discreta, P(X<2) é a soma das probabilidades dos pontos do suporte estritamente menores que 2. O único ponto menor que 2 é -1. Logo
P(X<2)=P(X=-1)=0{,}2.
Outra forma: P(X<2)=F(2^-)=\lim_{y\to 2^-}F(y)=0{,}2, já que F tem salto de 0{,}3 em 2.
Passo 7
Calcular P(3\le X\le 12).
Devemos somar as probabilidades dos pontos do suporte que satisfazem 3\le x\le 12. Os pontos do suporte nessa faixa são 5 e 6. Então
P(3\le X\le 12)=P(X=5)+P(X=6)=0{,}2+0{,}2=0{,}4.
Passo 8
Calcular P(X>14).
Os pontos do suporte maiores que 14 são apenas 15. Portanto
P(X>14)=P(X=15)=0{,}1.
Resposta
(a)
F(x)= \begin{cases} 0, & x< -1,\\[4pt] 0{,}2, & -1 \le x < 2,\\[4pt] 0{,}5, & 2 \le x < 5,\\[4pt] 0{,}7, & 5 \le x < 6,\\[4pt] 0{,}9, & 6 \le x < 15,\\[4pt] 1, & x\ge 15. \end{cases}