Questão 2. (2,5) Suponha que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} sejam variáveis i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável aleatória X discreta que assume apenas os valores 0 e 1 com P(X=0)=1-p e P(X=1)=p, 0<p<1. Seja \bar{X}=\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right) / n.
(a) (1,5) Use a Desigualdade de Tchebychev para determinar um valor para n que garanta
P(|\bar{X}-p|<0,1) \geq 0,99, \quad \text { para todo } 0<p<1 .
(b) (1,0) Com base no resultado acima e considerando o valor de n obtido em (a), obtenha um intervalo de confiança de 99 \% para p no caso em que se observa \bar{x}=0,3.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Variáveis X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. com mesma distribuição de X, sendo X uma variável discreta que assume apenas os valores 0 e 1 com P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p,\qquad 0<p<1.
  • Define-se a média amostral \bar{X}=\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}.
As perguntas são:
(a) Usar a Desigualdade de Tchebychev para determinar um valor de n que garanta
P\bigl(|\bar{X}-p|<0,1\bigr)\ge 0,99\quad\text{para todo }0<p<1.
(b) Com base no resultado de (a) e tomando o n obtido, obter um intervalo de confiança de 99\% para p quando se observa \bar{x}=0,3.

Passo 2

Apresentação da ferramenta que vamos usar (Desigualdade de Tchebychev).
A desigualdade de Tchebychev diz o seguinte: se Y é uma v.a. com média \mu e variância finita \sigma^{2}, então, para qualquer k>0,
P\bigl(|Y-\mu|\ge k\bigr)\le \frac{\sigma^{2}}{k^{2}}.
Em palavras: a probabilidade de uma v.a. se afastar da média em pelo menos k está limitada por \sigma^{2}/k^{2}. Consequentemente
P\bigl(|Y-\mu|< k\bigr)\ge 1-\frac{\sigma^{2}}{k^{2}}.
Isto é útil quando não se quer fazer hipóteses fortes sobre a distribuição além de ter variância finita.

Passo 3

Calcular média e variância de X (Bernoulli) — passo fundamental e simples.
  • A média de X é E[X]=1\cdot P(X=1)+0\cdot P(X=0)=p.
  • Para a variância, use \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}. Como X^{2}=X para X\in\{0,1\}, temos E[X^{2}]=E[X]=p. Logo \operatorname{Var}(X)=p-p^{2}=p(1-p).

Passo 4

Calcular média e variância de \bar{X}. Como as X_i são independentes e identicamente distribuídas:
  • E[\bar{X}]=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E[X_i]=\dfrac{1}{n}\cdot n p = p.
  • Pela independência, \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\cdot p(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}.

Passo 5

Aplicar Tchebychev a \bar{X} com k=0,1.
Pela desigualdade,
P\bigl(|\bar{X}-p|<0,1\bigr)\ge 1-\frac{\operatorname{Var}(\bar{X})}{0,1^{2}}.
Substituindo \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{p(1-p)}{n} e 0,1^{2}=0,01,
P\bigl(|\bar{X}-p|<0,1\bigr)\ge 1-\frac{p(1-p)}{0,01\,n}.

Passo 6

Como a condição do enunciado exige que a desigualdade valha para todo 0<p<1, devemos tomar o pior caso (o maior valor possível de p(1-p)) para obter um n que funcione uniformemente.
A função g(p)=p(1-p) é uma parábola com máximo em p=\tfrac{1}{2}. Pode-se verificar derivando: g'(p)=1-2p=0\Rightarrow p=\tfrac{1}{2}. O valor máximo é
\max_{0<p<1} p(1-p)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{4}.
Substituindo na desigualdade obtém-se um limite independente de p:
P\bigl(|\bar{X}-p|<0,1\bigr)\ge 1-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{0,01\,n}=1-\frac{1}{0,04\,n}.
Como \dfrac{1}{0,04}=25, isso é
P\bigl(|\bar{X}-p|<0,1\bigr)\ge 1-\frac{25}{n}.

Passo 7

Exigir que o lado direito seja pelo menos 0,99 e resolver para n.
Impor 1-\dfrac{25}{n}\ge 0,99 leva a
\frac{25}{n}\le 0,01 \quad\Longrightarrow\quad n\ge \frac{25}{0,01}=2500.
Portanto, qualquer n\ge 2500 garante a propriedade desejada para todo 0<p<1. O menor inteiro que satisfaz é n=2500.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança de 99\% para p usando o resultado de (a).
Temos a garantia (quando n\ge 2500) de que
P\bigl(|\bar{X}-p|<0,1\bigr)\ge 0,99.
Reescrevendo o evento, isso é
P\bigl(\bar{X}-0,1 < p < \bar{X}+0,1\bigr)\ge 0,99.
Isto significa que o intervalo aleatório \bigl(\bar{X}-0,1,\\ \bar{X}+0,1\bigr) é um intervalo de confiança de 99\% para p (nível de confiança pelo critério de Tchebychev).
Dado que se observou \bar{x}=0,3 e usamos n=2500, o intervalo numérico é
\bigl(0,3-0,1,\\\ 0,3+0,1\bigr)=\bigl(0,2,\\\ 0,4\bigr).
(Se preferir formato fechado, pode-se escrever [0,2,\,0,4].)

Resposta

(a) n\ge 2500 (menor inteiro que funciona: n=2500).
(b) Intervalo de confiança de 99\%: [0,2,\\\ 0,4].

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