Questão 2. (2,5) Suponha que
sejam variáveis i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável aleatória
discreta que assume apenas os valores 0 e 1 com
e
. Seja
.
(a)
Use a Desigualdade de Tchebychev para determinar um valor para
que garanta
(b)
Com base no resultado acima e considerando o valor de
obtido em (a), obtenha um intervalo de confiança de
para
no caso em que se observa
.
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Variáveis
i.i.d. com mesma distribuição de , sendo uma variável discreta que assume apenas os valores e com - Define-se a média amostral
As perguntas são:
(a) Usar a Desigualdade de Tchebychev para determinar um valor de
que garanta
(b) Com base no resultado de (a) e tomando o
obtido, obter um intervalo de confiança de
para
quando se observa
.
Passo 2
Apresentação da ferramenta que vamos usar (Desigualdade de Tchebychev).
A desigualdade de Tchebychev diz o seguinte: se
é uma v.a. com média
e variância finita
, então, para qualquer
,
Em palavras: a probabilidade de uma v.a. se afastar da média em pelo menos
está limitada por
. Consequentemente
Isto é útil quando não se quer fazer hipóteses fortes sobre a distribuição além de ter variância finita.
Passo 3
Calcular média e variância de
(Bernoulli) — passo fundamental e simples.
- A média de
é - Para a variância, use
. Como para , temos . Logo
Passo 4
Calcular média e variância de
. Como as
são independentes e identicamente distribuídas:
-
- Pela independência,
Passo 5
Aplicar Tchebychev a
com
.
Pela desigualdade,
Substituindo
e
,
Passo 6
Como a condição do enunciado exige que a desigualdade valha para todo
, devemos tomar o pior caso (o maior valor possível de
) para obter um
que funcione uniformemente.
A função
é uma parábola com máximo em
. Pode-se verificar derivando:
. O valor máximo é
Substituindo na desigualdade obtém-se um limite independente de
:
Como
, isso é
Passo 7
Exigir que o lado direito seja pelo menos
e resolver para
.
Impor
leva a
Portanto, qualquer
garante a propriedade desejada para todo
. O menor inteiro que satisfaz é
.
Passo 8
Construir o intervalo de confiança de
para
usando o resultado de (a).
Temos a garantia (quando
) de que
Reescrevendo o evento, isso é
Isto significa que o intervalo aleatório
é um intervalo de confiança de
para
(nível de confiança pelo critério de Tchebychev).
Dado que se observou
e usamos
, o intervalo numérico é
(Se preferir formato fechado, pode-se escrever
.)
Resposta
(a)
(menor inteiro que funciona:
).
(b) Intervalo de confiança de :
.
(b) Intervalo de confiança de