5^{\circ} ) Deseja-se construir um recipiente cilíndrico sem tampa, e para isso dispõe-se de 100 \mathrm{~cm}^{2} de material. Obtenha o raio r e a altura h do cilindro de volume máximo que pode ser construído com o material disponível. Qual o volume máximo?

Passo 1

O enunciado pede para maximizar o volume de um cilindro sem tampa usando exatamente 100\\ \mathrm{cm}^2 de material. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, usando derivadas para encontrar máximo.

Passo 2

A área total disponível, sem tampa, é a soma da área da base e da área lateral. Logo, se r é o raio e h a altura,
\text{área} = \pi r^2 + 2\pi r\,h = 100\\ \mathrm{cm}^2.á

Passo 3

Da restrição de área isolamos h:
\pi r^2 + 2\pi r\,h = 100 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{100 - \pi r^2}{2\pi r}.
O volume é
V = \pi r^2 h
e substituindo h obtemos
V(r) = \pi r^2 \,\frac{100 - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{100\,r - \pi r^3}{2}.

Passo 4

Para encontrar o máximo, derivamos V(r) e igualamos a zero:
V'(r) = \frac{100 - 3\pi r^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad 100 - 3\pi r^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{100}{3\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{100}{3\pi}}.

Passo 5

Com esse r, a altura é
h = \frac{100 - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{100 - \frac{100}{3}}{2\pi r} = \frac{\tfrac{200}{3}}{2\pi r} = \frac{100}{3\pi r},
e usando r^2=\tfrac{100}{3\pi} vê-se que h=r.
O volume máximo é
V_{\max} = \pi r^2 h = \pi r^3 = \pi \Bigl(\tfrac{100}{3\pi}\Bigr)^{\!3/2} = \frac{1000}{3^{3/2}\,\sqrt{\pi}} \approx 108{,}6\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

r = \sqrt{\tfrac{100}{3\pi}}\approx 3{,}26\\ \mathrm{cm},\quad h = r \approx 3{,}26\\ \mathrm{cm},\quad V_{\max}\approx 108{,}6\\ \mathrm{cm}^3.

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