) Deseja-se construir um recipiente cilíndrico sem tampa, e para isso dispõe-se de
de material. Obtenha o raio
e a altura
do cilindro de volume máximo que pode ser construído com o material disponível. Qual o volume máximo?
Passo 1
O enunciado pede para maximizar o volume de um cilindro sem tampa usando exatamente
de material. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, usando derivadas para encontrar máximo.
Passo 2
A área total disponível, sem tampa, é a soma da área da base e da área lateral. Logo, se
é o raio e
a altura,
Passo 3
Da restrição de área isolamos
:
O volume é
e substituindo
obtemos
Passo 4
Para encontrar o máximo, derivamos
e igualamos a zero:
Passo 5
Com esse
, a altura é
e usando
vê-se que
.
O volume máximo é
O volume máximo é