2^circ ) Dados os pontos P=(3,-2,-1), Q=(1,5,4), R=(2,0,-6) e S=(-4,1,5), determine o que se pede:
a) P Q cdot R S
b) O ângulo entre P Q e R S
c) A componente de P S segundo Q R
d) A componente de Q R segundo P S

Passo 1

A questão nos dá quatro pontos no espaço: P=(3,–2,–1), Q=(1,5,4), R=(2,0,–6) e S=(–4,1,5). O objetivo é usar operações vetoriais (produto escalar, norma e projeções escalares) para responder: (a) PQ·RS, (b) ângulo entre PQ e RS, © componente de PS ao longo de QR e (d) componente de QR ao longo de PS.

Passo 2

Primeiro vamos obter os vetores de interesse aplicando a definição AB=B-A. Assim,
PQ=Q-P=(1-3,,5-(-2),,4-(-1))=(-2,,7,,5),
RS=S-R=(-4-2,,1-0,,5-(-6))=(-6,,1,,11),
PS=S-P=(-4-3,,1-(-2),,5-(-1))=(-7,,3,,6),
QR=R-Q=(2-1,,0-5,,-6-4)=(1,,-5,,-10)

Passo 3

O produto escalar entre dois vetores u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) é ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3. Calculamos:
PQcdotRS=(-2)(-6)+7cdot1+5cdot11=12+7+55=74

Passo 4

Para achar o ângulo θ entre dois vetores, usamos costheta=dfracucdotv|u|,|v|, onde a norma |u|=raizu1^2+u2^2+u3^2. Calculamos:
|PQ|=raiz(-2)^2+7^2+5^2=raiz4+49+25=raiz78,
|RS|=raiz(-6)^2+1^2+11^2=raiz36+1+121=raiz158

Passo 5

Logo,
costheta=74raiz78,raiz158approx0.6666Rightarrowtheta=arccosl(0.6666r)approx48.19^circ

Passo 6

A projeção escalar de um vetor b sobre a é
compa(b)=bcdota|a| Como PScdotQR=(-7)cdot1+3cdot(-5)+6cdot(-10)=-7-15-60=-82 e |QR|=raiz1^2+(-5)^2+(-10)^2=raiz126=3raiz14, temos
compQR(PS)=-823raiz14=-41raiz1421approx-7.305

Passo 7

De modo análogo, como |PS|=raiz(-7)^2+3^2+6^2=raiz94,
compPS(QR)=QRcdotPS|PS|=-82raiz94approx-8.459

Resposta

a) 74
b) theta=arccosl(74/(raiz78,raiz158)r)approx48.19^circ
c) -823raiz14=-41raiz1421approx-7.305
d) -82raiz94approx-8.459

Exercícios relacionados