) Dados os pontos
e
, determine o que se pede:
a)
b) O ângulo entre
P Q e
R S
c) A componente de
P S segundo
Q R
d) A componente de
Q R segundo
P S
a)
b) O ângulo entre
c) A componente de
d) A componente de
Passo 1
A questão nos dá quatro pontos no espaço: P=(3,–2,–1), Q=(1,5,4), R=(2,0,–6) e S=(–4,1,5). O objetivo é usar operações vetoriais (produto escalar, norma e projeções escalares) para responder: (a) PQ·RS, (b) ângulo entre PQ e RS, © componente de PS ao longo de QR e (d) componente de QR ao longo de PS.
Passo 2
Primeiro vamos obter os vetores de interesse aplicando a definição
AB=B-A . Assim,
Passo 3
O produto escalar entre dois vetores
u=(u1,u2,u3) e
v=(v1,v2,v3) é
ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3 . Calculamos:
Passo 4
Para achar o ângulo θ entre dois vetores, usamos
costheta=dfracucdotv|u|,|v| , onde a norma
|u|=raizu1^2+u2^2+u3^2 . Calculamos:
Passo 5
Logo,
Passo 6
A projeção escalar de um vetor
b sobre
a é
Passo 7
De modo análogo, como
|PS|=raiz(-7)^2+3^2+6^2=raiz94,
Resposta
a) 74
b)theta=arccosl(74/(raiz78,raiz158)r)approx48.19^circ
c)-823raiz14=-41raiz1421approx-7.305
d)-82raiz94approx-8.459
b)
c)
d)