Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta.
f(x, y)=y \ln (x), \quad(1,-3), \quad \overrightarrow{\boldsymbol{u}}=(-4 / 5,3 / 5).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=y\ln(x)
no ponto (1,-3) na direção do vetor unitário \overrightarrow{u}=\bigl(-\tfrac45,\tfrac35\bigr).
Para isso usamos a fórmula
D_{\overrightarrow{u}}f(1,-3)=\nabla f(1,-3)\cdot\overrightarrow{u}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y}{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\ln(x).

Passo 3

Avaliando em (1,-3):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-3) =\frac{-3}{1}=-3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,-3) =\ln(1)=0.
Logo
\nabla f(1,-3)=(-3,\,0).

Passo 4

Fazendo o produto escalar com \overrightarrow{u}:
D_{\overrightarrow{u}}f(1,-3) =(-3,0)\cdot\bigl(-\tfrac45,\tfrac35\bigr) =(-3)\Bigl(-\tfrac45\Bigr)+0\cdot\tfrac35 =\tfrac{12}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{5}

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