Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta.
f(x, y)=5 x y^{2}-4 x^{3}, \quad(2,1), \quad \overrightarrow{\boldsymbol{u}}=(5 / 13,12 / 13).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=5xy^{2}-4x^{3} no ponto (2,1) na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(5/13,\,12/13).
O conteúdo utilizado será a definição de derivada direcional via gradiente:
D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf{u}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=5y^{2}-12x^{2} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10xy

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais em (2,1): \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=5\cdot1^{2}-12\cdot2^{2}=5-48=-43 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=10\cdot2\cdot1=20
Logo, \displaystyle \nabla f(2,1)=(-43,\,20).

Passo 4

Fazer o produto escalar com \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(2,1) =\nabla f(2,1)\cdot\mathbf{u} =(-43)\frac{5}{13}+20\frac{12}{13} =\frac{-215+240}{13} =\frac{25}{13}.

Resposta

A derivada direcional de f em (2,1) na direção de \mathbf{u} é \displaystyle \frac{25}{13}.

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