3^circ-Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do Método de Jacobi.
\left{ c5 x-y+2 z+w=5 x+9 y+z-w=26 3 y-7 z+2 w=-7 -2 x+2 y-3 z+10 w=33\right.

Passo 1

Vamos resolver o sistema
5x - y + 2z + w = 5, x + 9y + z - w = 26, 3y - 7z + 2w = -7, -2x + 2y - 3z + 10w = 33
pelo método iterativo de Jacobi. A ideia é isolar cada variável em função das outras, definir um chute inicial x^(0) e calcular
x^(k+1) = G,x^(k) + c
até que a diferença entre iterações fique abaixo de uma tolerância varepsilon.

Passo 2

Isolando cada incógnita na diagonal:
x &= 5 + y - 2z - w5, y &= 26 - x - z + w9, z &= 3y + 2w + 77, w &= 33 + 2x - 2y + 3z10
Daí o esquema de Jacobi é
x^(k+1) = 5 + y^(k) - 2,z^(k) - w^(k)5,[1em] y^(k+1) = 26 - x^(k) - z^(k) + w^(k)9,[1em] z^(k+1) = 3,y^(k) + 2,w^(k) + 77,[1em] w^(k+1) = 33 + 2,x^(k) - 2,y^(k) + 3,z^(k)10 ]

Passo 3

Escolhemos chute inicial
x^(0) = (0,,0,,0,,0)
e tolerância varepsilon = 10^-3. Vamos iterar até
|x^(k+1) - x^(k)|infty < varepsilon.

Passo 4

Computando as primeiras iterações (apenas os valores aproximados):
c|cccc k & x^(k) & y^(k) & z^(k) & w^(k) hline 0 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 1 & 1,0000 & 2,8889 & 1,0000 & 3,3000 2 & 0,5178 & 3,0333 & 3,1810 & 3,2222 3 & -0,3102 & 2,8360 & 3,2206 & 3,7512 4 & -0,4713 & 2,9823 & 3,2872 & 3,6369 5 & -0,4458 & 2,9801 & 3,3172 & 3,5954 6 & -0,4499 & 2,9693 & 3,3044 & 3,6100 7 & -0,4499 & 2,9728 & 3,3040 & 3,6074 8 & -0,4485 & 2,9726 & 3,3042 & 3,6083 9 & -0,4490 & 2,9715 & 3,3046 & 3,6079
Na iteração 9 o máximo salto
|x^(9)-x^(8)|inftyapprox 5times10^-4<10^-3,
logo paramos.

Resposta

A solução aproximada pelo método de Jacobi, com varepsilon=10^-3, é
(x,,y,,z,,w)approx(-0,4490,;2,9715,;3,3046,;3,6079)

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